设 m 是自然数,a=m^2+4 ,b=(m+1)^2+4 ,求 a 与 b 的最大公约数的最大值
一个数论题目各位好,我又来了。我水平不行,只能发帖问。
我家小朋友数论水平不大好。遇见这题,不知道怎么解答:
设:
设m是自然数
\(a=m^2+4\)
\(b=(m+1)^2+4\)
那么a与b的最大公约的最大值。
请问这题怎么做呢?
我本来想法是两个连续自然数的平方,各加4。可以被一个相同的质数分解。
不过,这个是选择题。可以选5、7、17、19。我家小朋友说,6分钟一题,要么丢进去死算也来得及:L
不过,肯定想知道怎么来解这题。 \[(a,b)=(a,b-a)=(m^2+4,2m+1)\]
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\ 辗转相除法,m=8时取最大值17 感谢老师答疑解惑,顺便查了一下辗转相除法。
辗转相除法,也称为欧几里德算法,是用于计算两个正整数的最大公约数(最大公因数)的一种算法。它基于以下原理:如果两个数 p 和 q 满足 p > q,则它们的最大公约数等于 q 和 p mod q(p 除以 q 的余数)的最大公约数。
辗转相除法的步骤如下:
将两个数 p 和 q 进行相除,得到余数 r。
如果 r 等于 0,则 q 即为最大公约数。
如果 r 不等于 0,则将原来的 q 赋值给 p,将 r 赋值给 q,然后重复步骤 1。
这个过程一直持续到余数为 0 为止。最后的 q 即为最大公约数。
辗转相除法是一种非常高效的计算最大公约数的方法,也被广泛应用于计算机科学和数学领域。
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