克莱因的奇妙之瓶
克莱因的奇妙之瓶原创 围城里的猫 MathSpark 2024-02-15 08:01 安徽
在数学中，拓扑学和几何学是奇异美丽的，也最具有视觉上的冲击性，在这期推送中我们将尝试解释奇妙的克莱因瓶，不过在这之前，你听说过莫比乌斯带吗？如果大家没有听说过，我们不妨先看一看这条奇怪带子的样子。
上面的两张图展示了它的样子，一个叫克莱因的数学家曾说过莫比乌斯带很神奇，如果你把两个边粘在一起就会得到一个叫克莱因瓶的奇怪东西。这是这位德国几何学家和教育学家在 1882 年发现的东西，一条莫比乌斯带可以缝合成一个克莱因瓶，然后又可以分裂成两条莫比乌斯带，这就像是莫比乌斯带的 "无性 "繁殖一样，很神奇对吧！不过要注意的是这跟生物学没有任何的关系，你指望它们像小孩一样发出可爱的声音是没有任何希望的。
克莱因瓶无疑是拓扑学中最著名的一个研究对象，即使在专业数学圈之外它也广为人知。在数学上我们已经知道克莱因瓶不能嵌入三维欧几里得空间，因为紧凑的、完整的光滑表面（即紧凑的光滑二维流形的三维嵌入总是可定向的，而克莱因瓶不是。当然这并不是唯一的原因。
美国数学家哈斯勒·惠特尼证明的一个著名定理——惠特尼嵌入定理告诉我们，我们总能找到一个 n 维光滑流形在至多 2n 维欧几里得空间中的光滑嵌入。许多二维曲面可以嵌入到三维欧几里得空间中，但克莱因瓶需要四维空间来消除我们在上面展示的三维绿色玻璃瓶双重点。实际上，定理证明中的主要工具就是所谓的“惠特尼技巧”，它明确展示了如何在高维嵌入中消除双重点，需要使用惠特尼技巧并迫使我们必须使用全部四个维度。
另一个出乎意料的结果尽管克莱因瓶和莫比乌斯带看起来奇奇怪怪，但是却是二维现实的基本构件，连同更为人熟知的平面、圆柱和环面（甜甜圈形状），它们穷尽了所有可能性。另一个与克莱因瓶有关的即所谓的纳什嵌入定理，你或许看过以他为主角电影《美丽心灵》
惠特尼嵌入定理（Whitney Embedding Theorem）告诉我们克莱因瓶需要所要求的最多四个维度，才能平滑嵌入一个没有双点的二维流形。但是关于是否是等距嵌入只字未提，而这也是纳什嵌入定理所要解决的内容。有三个纳什定理。巧合的是，第一个和第二个定理给出了相同的结果：纳什-柯伊伯定理可以应用于已知的、非平面的四维克莱因瓶嵌入，以证明在五维中有一个等距（平面）嵌入，因为它说，如果你在 n 欧几里得空间中有任何平滑嵌入（在这种情况下，我们知道我们可以在四维嵌入克莱因瓶），那么在 n+1 维中有一个平面嵌入。因此，这告诉我们，我们需要五个维度才能将平面克莱因瓶嵌入到欧几里得空间。第二个纳什定理告诉我们，对于任何 n 维的黎曼流形，都存在 2n +1 维的等距嵌入。同样，我们的平面克莱因瓶是二维的，所以这也告诉我们需要五维。
但这些嵌入很奇怪。由这两个定理得出的纳什嵌入具有病态行为，比如到处都是不连续的二阶导数。这是一种类似分形的行为。但一阶导数在任何地方都是连续的。前两个定理中的纳什内嵌被定义为收敛的无限序列的极限，该序列从非等距内嵌开始，然后在流形上添加振幅递减、频率递增的波浪和波纹，从而各向异性地改变距离，即在流形上有一个优先方向，以 "拉直 "等距偏差。
如果你的要求更高需要光滑的等距嵌入，也就来到了最后一个纳什定理，它告诉我们，要保持平滑性，一个 n 维的紧凑流形需要 n(3n+11)/2 维来嵌入。因此，如果我们想给可怜的二维克莱因瓶一个光滑的欧几里得曲面，就需要 17 个维度！
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