\(\large\color{blue}{\textbf{集合序列的极限理论}}\)
这是我多年前发的一个贴，关注集合序列的极限的确切意义和基本性质。熟悉数列的极限理论的朋友可以看出两者的诸多平行关系。
这是旧贴新发，原帖的回帖和讨论已离题甚。我也打算更进一些相关话题.
定理3单调集列必收敛. 且
(1)若\(\{A_n\}\)单调升，则\(\displaystyle\lim_{n\to\infty}A_n=\bigcup_{n=1}^\infty A_n\)；
(2)若\(\{A_n\}\)单调降，则\(\displaystyle\lim_{n\to\infty}A_n=\bigcap_{n=1}^\infty A_n.\quad\square\)
这个定理从定理2及集合的上下极限的计算轻易得到。
elim 发表于 2024-2-1 14:41
定理3单调集列必收敛. 且
(1)若\(\{A_n\}\)单调升，则\(\displaystyle\lim_{n\to\infty}A_n=\bigcup_{n=1} ...
例：令 \(A_k=\{m\in\mathbb{N}^+: m>k\}\;(k\in\mathbb{N}^+)\),
\(\quad\)则\(k\not\in A_k\)因而\(k\not\in\displaystyle\bigcap_{m=1}^\infty A_m = \lim_{n\to\infty} A_n\). 因\(k\) 任意,\(\displaystyle\lim_{n\to\infty} A_n=\varnothing.\)
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