长方体共顶点三条棱与任意平面夹角为 α,β,γ,证:(sinα)^2+(sinβ)^2+(sinγ)^2=1
\(记长方体共顶点的三条棱与任意平面所成角分别为\alpha,\beta,\gamma,证明:\sin^2\alpha+\sin^2\beta+\sin^2\gamma=1\)思路:如图,a,b,c是顶点O的三条棱,OD是棱锥底面ABC的高h,其它如图所示,
故△ABC的三边的平方为a^2+b^2,b^2+c^2,c^2+a^2。由余弦定理与两边及夹角的
三角形面积公式易得,4(S△ABC)^2=a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2。又由体积有,
2h(S△ABC)=abc,即h^2(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)=(abc)^2。
故,(sinα)^2+(sinβ)^2+(sinγ)^2=h^2(1/a^2+1/b^2+1/c^2)
=h^2(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)/(abc)^2=1。 长方体是任意的,即a,b,c是任意的,故平面ABC也是任意的。 已知长方体共顶点的三个面与任意平面所成的角分别为α,β,γ,
求(sinα)^2+(sinβ)^2+(sinγ)^2的值。(答案是2) 第 2 楼中波斯猫猫的证明已收藏。下面是我的另一种证法:
波斯猫猫 发表于 2024-1-24 19:38
已知长方体共顶点的三个面与任意平面所成的角分别为α,β,γ,
求(sinα)^2+(sinβ)^2+(sinγ)^2的值。(答案是2)
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