纽结理论和琼斯多项式
纽结理论和琼斯多项式来源：尚万只老虎
作者：尚大海
用绳子打结是我们每个人必备的一项技能，比如每天早上系鞋带，系包装袋，男士打领带，女士带发箍，小孩子要把秋千绑到高高的树枝上……但有些时候我们也需要考虑一下，到底该怎么打结才不容易松脱，否则后果可能会很严重，比如攀岩结，水手结，还有医护人员用的包扎结。
水手结
这些结一般都是有两个端点的绳子，理论上无论怎么缠绕都是可以解开的。但是数学家研究的结不太一样，需要把绳子的两个端点系在一起，形成一个闭合的圈，这样的纽结就不一定能解开了。
纽结理论始于人们对宇宙基本构成的猜想。1867 年，苏格兰数学家和物理学家泰特（Peter Guthrie Tait）向他的朋友和同胞威廉·汤姆森（William Thomson ，即开尔文勋爵）展示了他的产生烟圈的装置。开尔文勋爵被烟圈的迷人形状和稳定性所吸引，于是产生了一个大胆的想法：或许就像烟圈是空气中的漩涡一样，原子也是发光“以太”中打结的“漩涡环”！当时的物理学家认为，光是通过“以太”这种不可见的介质传播的。
涡旋理论在科学界获得了关注，并启发泰特开始将所有可能的纽结分类列表，创造出他所希望的、与元素周期表对应的东西。可惜的是，1887 年，著名的迈克尔逊-莫雷实验证明并无“以太”这种东西，而少了那介质，开尔文的原子涡漩理论就行不通了。然而，泰特已经被纽结的数学优雅所深深吸引，一如既往地继续他的列表计划。在此过程中，他创立了数学领域中的纽结理论（knot theory）。
彼得·泰特（Peter G. Tait，1831-1901），纽结理论的先驱
数学上研究的纽结是三维空间中的简单闭曲线，即连通的封闭的不自交的曲线。一个圈叫作一个纽结（knot），多个圈叫作一个链环（link）。如果把一个纽结在三维空间中经过连续变形（不许剪断或粘合）而变成另一个纽结，我们就说这两个纽结是等价的（equivalent），或同痕的（isotopic）。纽结可以用投影图来表示，这些投影图必须满足以下 3 个条件：
1. 只有有限多个重叠点。
2. 每个重叠点都是二重点。
3. 每个二重点处，上下两线的投影图都是互相跨越交叉的，实线在上虚线在下。
以下是一些纽结的投影图。
一些交叉数不超过 7 的纽结的投影图
第一个投影是一个圆圈，叫做平凡结（unkont），也叫“非结”，因为它没有打结，投影没有交叉。当然你可以把一个平凡结在三维空间扭转几下，让它的二维投影多一些交叉，但是这些交叉也可以通过还原扭转来消除，因此它的最小交叉数是 0 ，我们把最小交叉数就称为交叉数（crossing number），因此交叉数为 0 的就是平凡结，交叉数不为 0 的就是非平凡结。
第二个是三叶结（trefoil knot），它的交叉数为 3 ，是交叉数最少的非平凡纽结。三叶结与它的镜像不等价。把一个纽结放在你和一面镜子之间，你看到的镜子中的纽结就是它的镜像。把每个交叉点处的实线和虚线互换，就得到镜像的投影图。你无法通过连续变换把一个三叶结变成它的镜像，就像你无法把左手变成右手一样，这就叫手性或手征性（chirality），三叶结是有手性的（chiral）。
第三个是 8 字结（figure eight knot），它的交叉数为 4 。8 字结与它的镜像是等价的，你可以通过连续变形把一个 8 字结变成它的镜像（后面会详细介绍）。这叫无手性（achirality）或兼手性（amphichiralty）。
8 字结的三种投影
一个投影图代表一个纽结，可一个纽结却有不同的投影图表示。由此可见，要利用投影图来研究纽结理论，先决条件是必须弄清楚：纽结在空间中的移位变形怎样在投影图上反映出来。德国数学家赖德迈斯特（Reidemeister，1893-1971）归纳和设计出三种基本的对投影图的变换，即赖德迈斯特运动（Reidemeister Moves），其它更复杂的变换都可以由这三种运动组合拼接而成。
Reidemeister 运动
第一种运动 R1 称为“Twist”，即对一个射影打上一个卷或消除一个卷。
第二种运动 R2 称为“Poke”，把一根线拨到另一根线之下，成为一个叠置的二边形，或者从另一根下拨出，消除一个叠置的二边形。
第三种运动 R3 称为“Slide”，让一根线在两段线之下滑动并通过交叉点，考虑其它线段的相对运动，这里其实也蕴含了在两根线之上或者之间滑动的情形。
在上述三种运动的定义下，赖德迈斯特在 1927 年提出一个定理：称两个纽结为等价的（equivalent），即环绕空间同痕的（ambient isotopic），当且仅当存在平面同痕（planar isotopy），以及一系列 Reidemeister 运动，可以把一个纽结投影变换到另一个纽结投影。
这里有几个数学概念需要解释一下。在拓扑学中，一个纽结就是圆周 S^1 到三维空间 R^3 的一个嵌入 f : S^1→S^3 ，也就是三维空间的一个简单闭曲线。三维空间就是它的环绕空间，纽结在三维空间中连续变形的整个过程就叫做同伦（homotopy），即映射的连续变换，但是我们要求纽结在变形过程中不能割断或者粘合，这就要求每个时刻的映射（即切片 section）都是一个同胚（homeomorphism）即连续的双射，这样就不能撕裂或者把多个点压缩成一个点，同胚也叫拓扑等价（topological equivalence），确保纽结在整个变形过程中均保持拓扑结构的不变性，这种特殊的同伦就叫作环绕空间同痕（ambient isotopy），简称同痕（isotopy），同痕相当于一个单参数的同胚族。同理，在二维空间里面，曲线保持拓扑结构不变的连续形变，就叫作平面同痕（planar isotopy），因此平面同痕不改变纽结投影图中交叉点的数量。
平面同痕与三种 Reidemeister 运动
平面同痕和环绕空间同痕有什么关系呢？如果两个纽结的投影之间存在平面同痕，那么这两个纽结之间一定存在环绕空间同痕；反之则不然，环绕空间同痕的两个纽结，它们的平面投影可以改变交叉数量，这些都不属于平面同痕，但是可以分解为一系列 Reidemeister 运动。平面同痕是很平凡的运动，而我们主要关心不平凡的运动与纽结同痕的关系，因此可以说，纽结的同痕形变本质上是由三种 Reidemeister 运动来刻画的，这样就把三维空间的纽结降到二维投影平面来研究。
前面我们说到 8 字结和它的镜像等价，根据 Reidemeister 定理，就一定存在一系列 Reidemeister 运动把 8 字结投影变换成它的镜像，如下图所示：
8 字结投影通过一系列 Reidemeister 运动变成自己的镜像
如果一个纽结投影图的性质在 Reidemeister 运动下保持不变，我们就称该性质为纽结的同痕不变量。如果两个纽结的同痕不变量有不同的值，那么这两个纽结一定不同痕；但是反过来，如果同痕不变量的值相同，却并不能确定两个纽结一定同痕。同痕不变量的值相同只是纽结同痕的必要而非充分条件。因此，人们一直在寻找鉴别力更强且便于计算的同痕不变量，以帮助区分更多不同类型的纽结，这也是纽结理论的一个主要课题。
那么同痕不变量有哪些呢？
交叉数（crossing number）就是一个同痕不变量，交叉数不同的纽结一定不同痕，但是交叉数相同的纽结却并不一定都同痕，实际上随着交叉数的增加，纽结的类型数量呈指数级增长。
交叉数不超过 16 的素结的数量
交叉数不超过 8 的全部素结以及交叉数为 9 的大部分素结
如果一个非平凡纽结，不能被分解为两个非平凡纽结的连通和，那么它就是一个素纽结（prime knot），否则就是复合纽结（composite knot）。平凡纽结既不是素纽结也不是复合纽结，正如 1 既不是素数也不是合数。
前面介绍的那些纽结投影图都是素纽结，比如三叶结、8 字结等等。而我们日常生活中经常用到的两种打结方式：方结（Square Knot）和奶奶结（Granny Knot）则是复合结，方结是两个手性相异的三叶结的连通和，而奶奶结是两个手性相同的三叶结的连通和。
两个手性相异的三叶结的连通和构成方结
两个手性相同的三叶结的连通和构成奶奶结
方结比较牢固，奶奶结却容易松散，就像老奶奶一样软弱无力，所以也叫懒散结。
纽结投影图还有一个重要性质——三色性（trichroism）。如果纽结投影图的每个交叉点的三条线颜色各异，或者颜色相同，但不允许所有线条使用同一种颜色，我们就称这个投影图是三色的（tricolored）。
三色性表明三叶结不平凡
三色性是一个同痕不变量，即在 Reidemeister 变换下，该性质保持不变（分析颜色配置的几种情况即可证明）。三叶结的投影图是三色的，而平凡纽结的投影图不是三色的，所以三叶结不平凡！
三色性还可以用来证明某些链环是扣住不散的，因为可分离的链环的投影图一定是三色的，如果有一个投影图不是三色的，那么它所代表的链环就是不分离的，即互相扣住不散的。
下面介绍有向链环的一个最简单的同痕不变量——环绕数（linking number），它可以衡量两条有向闭曲线互相环绕的程度。
首先我们要确定交叉点的正负号。如上图所示，交叉点处实线在上虚线在下。如果请你将上面的实线箭头转动最小的角度，让它与下面的虚线箭头重合，你会怎么做呢？通过观察你会发现：左图按逆时针方向旋转的角度最小，而右图按顺时针方向旋转的角度最小。我们规定，按逆时针方向旋转角度最小的交叉点为正交叉点，记为 +1 ；反之则为负交叉点，记为 -1 。
如果把链环 L 中所有交叉点的正负号 ±1 全部加总，就是 L 的拧数（writhing number），记为 w(L) 。拧数在 R2 和 R3 这两种运动下不变，但在 R1 下会变，所以拧数不是同痕不变量。那我们能否做一些修改而构造出一个同痕不变量呢？
设 K1、K2 为有向链环 L 的两个分支，定义 K1、K2 的环绕数 Lk(K1,K2) 为 K1 与 K2 的交叉处（不包含 K1、K2 跟自己交叉或跟其它分支的交叉处）的正负号总和的一半。当链环 L 只有 K1、K2 两个分支时，也可以把环绕数 Lk(K1,K2) 简记为 Lk(L) 。
由两个纽结嵌套而成的链环的环绕数为 ±1
容易验证，和拧数类似，环绕数在 R2 和 R3 运动下保持不变，由于环绕数是定义在不同分支的交叉点处，所以单个分支与自身的交叉点变化对环绕数没有影响，即在 R1运动下环绕数也不变。于是我们就得到了一个真正的同痕不变量——环绕数。
两个纽结堆叠而成的平凡链环的环绕数为 0
由环绕数计算示例可知，两个套在一起的纽结形成的链环，无论怎样定向，它的环绕数都是 +1 或 -1 ，而不会等于 0 。但是，由两个分离的纽结堆叠在一起，组成的平凡链环的环绕数必为 0 ，所以两者不等价。
环绕数的观念是高斯(Gauss)在研究电磁现象时首先提出来的。如下图所示，两条有向闭曲线K1和K2组成一个霍普夫链环（Hopf link），K1是一条封闭导线，有单位强度的直流电在其中通过并产生一个磁场，如果一个带单位磁荷的磁单极子沿 K2 运动一周，磁场对磁单极子所做的功，就等于环绕数 Lk(K1,K2) 的 4π 倍。
一个磁单极子在闭合电流产生的磁场中沿着一条闭合路径移动一周
那还有没有鉴别力更强的同痕不变量呢？1928 年，美国数学家詹姆斯·瓦德·亚历山大（James Waddell Alexander, 1888-1971）在研究辫理论（braid theory）的时候，找到了一个多项式可以区分出一些互不同痕的纽结。1969 年，英国数学家约翰·康威（John Conway）对这个多项式不变量的计算方法做了一些改进，使每个有向投影图 L 都对应一个多项式 Δ(L) ，并满足如下三个性质：
(1) 同痕不变性，即在 Reidemeister 运动下保持不变，因此同痕的有向链环有相同的亚历山大多项式。
(2) 标准化条件：Δ(○)= 1 。
其中 ○ 表示一个没有交叉的纽结的投影，规定其多项式为 1 。
(3) 拆接关系式：
这个拆接关系式是康威的重大发现，他用这种方式重新表述了亚历山大多项式，更便于书写和计算，所以这个多项式有时也被称为“亚历山大—康威多项式”（Alexander-Conway polynomial）。
拆接关系式将投影图交叉点的改动归结为两种方式：穿越和重接。穿越就是正负号反转（实线变虚，虚线变实，仿佛两条线穿过彼此）。重接就是在交叉点处断开并重新连接，成为两条不相交的曲线，这实际上消除了交叉。因此，拆接关系式通过不断归约到更简单的投影方式，大大简化了多项式的计算，使得康威本来要用计算机做的工作，用手算就完成了。有趣的是，分子生物学的研究表明，穿越和重接也是 DNA 的几何结构发生改变的两种基本方式。
同痕不变性告诉我们，如果两个有向投影图的亚历山大多项式不相等，那么它们就是不同痕的。例如三叶结的亚历山大多项式是 t-1+t^(-1) 不等于 1 ，所以三叶结不平凡。
亚历山大多项式对于素纽结的鉴别力还是很强的。那些交叉数不超过 8 的素纽结，它们的亚历山大多项式各不相同，这就从数学上证明了它们确是不等价的纽结。亚历山大多项式的发现，是纽结理论的一个里程碑。
但是亚历山大多项式不能区分手性，比如左手三叶结与右手三叶结，也不能区分方结和奶奶结，因为它们都是三叶结的连通和构成。
令人吃惊的是，有一些看上去相当复杂的结，它们的亚历山大多项式与平凡结的一样，都等于 1 。这也是亚历山大多项式的一个缺点。
这个名为“Pretzel knot (-3 5 7)”的结的亚历山大多项式也是 1 ，它有很多有趣且出人意料的特性
为了区分镜像和更多纽结，数学家需要寻找鉴别力更强的扭结不变量。一晃 60 年过去了，那是 1984 年的春天，新西兰裔美国数学家沃恩·琼斯（Vaughan Jones）正在做一个演讲，介绍他关于算子代数的研究成果。听众中有一位美国拓扑学家、辫理论的权威——琼·伯曼（Joan Birman），她发现演讲中出现的一组公式与纽结理论中的公式很像，于是告诉了琼斯。经过几次长谈，琼斯终于弄清了两者之间的关系，从算子代数中成功引申出纽结和链环的一个新的同痕不变量——琼斯多项式(Jones polynomial)，它能将大多数纽结与其镜像区分开来，帮助解决了许多悬而未决的难题，是拓扑学家们数十年来探求的一种强力工具，被誉为“80 年代的数学明珠”。1990 年，琼斯因“在冯·诺依曼代数和纽结多项式方面的贡献”而获得菲尔兹奖。
沃恩·琼斯（Vaughan Jones ，1952 年 12 月 31 日 － 2020 年 9 月 6 日）
琼斯在新西兰的奥克兰长大。在当地大学学习了数学和物理后，他获得了一份奖学金，去瑞士的日内瓦大学完成博士学业。在那儿他开始对算子的理论感兴趣，这引导着他去跟阿兰·孔涅（Alan Connes）——这个领域最卓越的专家——合作。
琼斯的研究兴趣始于泛函分析中的算子代数，特别是冯·诺依曼代数中的因子理论。他于上世纪八十年代开创了子因子理论（subfactor theory），并从中获得了琼斯多项式。子因子理论广泛应用于低维拓扑、群论、遍历理论、量子物理学等领域的研究中，包括统计力学的一部分具有完全可解的模型、量子群的新领域、Dynkin 图和简单李代数的表示理论等。在所有这些数学的中心连接点是嵌套代数塔，一个被称为“琼斯指标定理”的成果说明，如果这些代数是一一嵌套的，他们的相对尺度符合精确但谜一般的数值比例。
琼斯个性散漫叛逆不羁，在菲尔兹奖的颁奖典礼上，他没有像其他获奖者一样穿正装，而是穿了一件新西兰橄榄球国家队的全黑球衣。2018 年的国际数学家大会（ICM）甚至玩起了官方梗，以“打破规则”为主题制作了一张海报，来纪念这桩趣事。
与亚历山大多项式一样，琼斯多项式也要满足那三个性质，只是拆接关系式稍有不同：
令人惊讶的是，琼斯多项式可以区分手性。比如右手三叶结的琼斯多项式为 t+t^3-t^4 ，而左手三叶结的琼斯多项式为 t^(-1)+t^(-3)-t^(-4) ，它们的琼斯多项式不同，所以左右手三叶结不同痕。
为了理解琼斯多项式，我们首先介绍尖括号（bracket）多项式，它是由美国数学家考夫曼（Louis Kauffman）引入，是对琼斯多项式的推广和改进，计算规则更加清晰简单。尖括号多项式满足以下 3 个条件：
(1) 标准化条件：＜○＞ = 1 。
(2) 叠加关系式：＜P ∪ ○＞ = C＜P＞ 。
把一个额外的非环绕的平凡分支 ○ 加到投影 P 中，等于 P 的多项式乘以 C 。
(3) 拆接关系式：
先介绍 A/B 通道。观察纽结每个交叉点附近区域的分割情况，我们用字母 A 和 B 进行标记，标记规则如下：将实线沿逆时针方向旋转到与虚线重合，实线扫过的区域就是 A ，剩下的区域就是 B 。
然后我们就可以“打开” A/B 通道，得到如下两个拆接关系式，假设把曲线的方向定为从左向右，那我们就可以确定交叉点的正负号以做区分。
“正交叉”拆接关系式：
“负交叉”拆接关系式：
比较一下琼斯多项式的拆接关系式，我们就可以发现，尖括号多项式的拆接关系式没有出现“穿越”模式，直接一步到位拆成了“重接”模式，消除了交叉，提高了计算效率。
这里面有三个系数 A/B/C 需要确定。根据 Reidemeister 定理，同痕不变量在 Reidemeister 的三种变换下保持不变。
首先考察 R2 变换，同痕性要求把两条堆叠的曲线分开仍然是等价的。
另一方面，根据拆接关系式，我们可以计算如下尖括号多项式：
比较上面的等式，可得如下推断：
AB = 1 ，A^2 + B^2 + ABC = 0 。
解得
B = A^(-1) ，C = - A^2 - A^(-2) 。
代入原来的公式中，尖括号多项式的 3 个规则就变为：
规则 1 ：＜○＞ = 1 。
规则 2 ：＜P ∪ ○＞ = [–A^2–A^(-2)]＜P＞ 。
规则 3 ：
规则介绍完毕，现在我们可以对纽结和链环的投影计算尖括号多项式了。
比如，计算两个不相交的纽结组成的链环：
＜○○＞ = [–A^2–A^(-2)]＜○＞ = –A^2–A^(-2) 。
以下四个单交叉投影全是平凡结，我们来算一下它们的尖括号多项式。
“正交叉”投影一：
“负交叉”投影一：
“正交叉”投影二：
“负交叉”投影二：
现在我们来计算左手三叶结 L 的尖括号多项式：
把前面已经算好的“正交叉”投影一和“负交叉”投影二的尖括号多项式直接代入，即得左手三叶结L的尖括号多项式：
＜ L ＞ = A^2[-A^2-A^(-2)](-A^3) + 2(-A^3) + (A^(-2))(-A^(-3)) = A^7 - A^3 - A^(-5) 。
容易验证，尖括号多项式也满足 R3 变换，如下所示：
那 R1 变换又如何呢？用尖括号多项式计算如下：
我们发现，起始多项式是一条打了一个卷的曲线，终点多项式是一条不带卷的曲线乘上一个系数（-A^3）。按照 R1 变化的同痕性，带一个卷的曲线跟不带卷的曲线是等价的，因此系数 -A^3 必等于 1 。假设 A=-1 ，代入拆接关系式可知，无论正交叉还是负交叉，它们的尖括号多项式都是完全相同的，这样就降低了鉴别力，因为一些必要信息丢失了。那我们能否改进一下，让它既满足 R1 同痕性又保持鉴别力呢？
答案是肯定的。这里要用到前面介绍过的“拧数” w(L) ，即一个有向链环的全体交叉点的符号±1总和。令 a=-A^3 ，从上面 R1 变换的多项式计算可知，每增加 1 个卷（拧数加 1 ），就会多乘 1 个因子 a ，这样我们只需再乘上 1 个 a^(-1) 就可以抵消了，于是我们在尖括号多项式里添加一个乘积因子 a^(-w) ，这样就得到了一个新的多项式，称为考夫曼多项式（Kauffman polynomial）：
X(L) = (-A^3)^(-w(L))＜ L ＞ 。
考夫曼多项式是一个同痕不变量。如果把变量 A 替换为 t^(-1/4) ，考夫曼多项式就变成了琼斯多项式。因此，考夫曼多项式与琼斯多项式是等价的。
现在我们再看一下左手三叶结 L ，前面已计算出它的尖括号多项式为 ＜ L ＞ = A^7 - A^3 - A^(-5) ，而左手三叶结的拧数 w(L)=-3 ，于是可计算其考夫曼多项式：
X(L) = (-A^3)^(-w(L))＜ L ＞ = (-A^3)(A^7 - A^3 - A^(-5)) = - A^16 + A^12 + A^4 。
如果把变量 A 替换为 t^(-1/4) ，就得到左手三叶结的琼斯多项式 V(L) = -t^(-5) + t^(-3) + t^(-1) 。同理，我们也可以计算出右手三叶结 L' 的琼斯多项式为 V(L') = -t^4 + t^3 + t ，确实跟左手三叶结不同，也证明了琼斯多项式可以区分手性。
琼斯多项式为什么有如此神奇的威力呢？数学家也给不出合理的解释，这个原因可能要到物理中去寻找。1989 年，爱德华·威腾（Edward Witten）在一篇文章《量子场论与琼斯多项式》(Quantum Field Theory and the Jones Polynomial）中证明，一个被称作陈-西蒙斯理论（Chern-Simons theory）的拓扑场论可以给出琼斯多项式。在这之后有关量子场论和纽结的研究日渐深入，人们渐渐发现数学中的各种纽结多项式和某些量子场论都有紧密的联系，甚至在当代最前沿的弦理论之中，纽结理论是研究弦之间相互作用形成的复杂拓扑结构的有力工具。
纽结理论在其他的领域也有广泛的应用。比如分子生物学中，DNA 复制时需要解开 DNA 的双螺旋结构，由螺旋酶将两股 DNA 分离。等到 DNA 复制完成后，两股 DNA 会产生拓扑学相连称为纽结，这种纽结只是形状上相连但是没有化学键。为了解除这种 DNA 的纽结状态，需要一种称为拓扑异构酶的酶来解除 DNA 的纽结状态。生物化学家们用纽结理论中的环绕数和链接数来描述 DNA 的纽结状态。
分子生物学中的纽结
纽结理论也是目前仍然在发展之中的拓扑量子计算的重要工具。此外，最近甚至还发现纽结理论与量子材料有着深刻的联系，比如研究人员发现可以用琼斯多项式来分类纽结半金属，其中纽结相变点附近节线或者奇异线的局域演化和琼斯多项式整体变化对应联系。可以预见到纽结理论将在更广泛的领域发挥更大的威力。
参考文献：
[美]Colin Adams 等著，沈以淡等译，拓扑学基础及应用，机械工业出版社，2010 年 2 月。
姜伯驹，绳圈的数学，大连理工大学出版社，2011 年 5 月。
https://www.quantamagazine.org/why-mathematicians-study-knots-20221031/
https://graphics.stanford.edu/courses/cs468-02-fall/projects/desanti.pdf
https://arxiv.org/pdf/2004.00148v2.pdf
数学经纬网 2023-12-17 19:00 发表于北京
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