马克思《数学手稿》的三个应用
关于导数的计算，根据马克思《数学手稿》第一节，,第2页讲到：“首先取差（即取Δｘ），然后再把它扬弃……。理解微分运算的全部困难（正象理解否定的否定本身那样），恰恰在于要看到微分运算是怎样区别于这样的简单手续并因此导出实际的结果的 ”的论述，笔者提出了如下的定义11。定义11，自变数x的微分dx是以 为极限的，满足任意小误差界要求的理想性足够小正实数性质的变数意义的辩证数（即dx为:不是0的足够小正数，也不是《非标准分析》中的无限小数，它近似等于0）。
根据这个定义与使用数学数学建模方法提出的在t的瞬时速度计算中，由于建模过程使用了近似测量数据，所以计算瞬时速度时，可以使用辩证数dt。由于dt 不等于0，它可以作除数，所以，在算出 约去公因子 后，得到；，将此式右端的含有辩证数dt的项忽略不计，就得到：在t处的右导数为gt ；同理可以得到：在t处的左导数也是gt。于是在包含t=2的足够小时段上物体下落速度的足够准数值为2g。在这个计算过程中，虽然使用了扬弃差值dt的做法，但这个做法的实质是：理想的没有长度的时刻可以使用测不准的足够小正数替换：即使用数字描述现实数量的理想时刻时，理想时刻可以用忽略不计的足够短时段替换；下落物体按照瞬时速度2g下落的时段长，不是0，而是包含t=2的足够短时段，这样一来，就解决了“下落物体按照时速度2g下落的时段长是不是0呢？”的无法解决的问题。上述瞬时速度的计算是一个足够准近似计算；于是求导数的计算也应当是一个足够准近似计算；但现行教科书中的导数的极限计算方法仍然可以使用，但需要知道：第一，如果对表达式 进行Δx趋向于0的计算，就会出现：0不能做除数的 问题，而必须在约去 中分子与分母的公因子Δx后进行求极限，这个计算也是对不定式 的一种计算；第二，需要知道：这个求导计算工作需要使用“理想点与近理想点、0与非0足够小的相互依赖的对立统一法则与收敛无穷数列可以达不到其极限值的性质”进行解说。根据这性质，对于芝诺的“飞矢不动”问题，根据时段不是理想时刻构成，而是把许多足够小时段连接起来构成的，这样一来，就不能因为“每一个理想时刻飞矢不动，得到飞矢不动的结论”，于是就消除了飞矢不动的悖论。下边再介绍几个与导数概念改革后的应用实例。
例Ⅰ 现行教科书中，称Δx为自变数的微分， 当Δx很小时，原函数增量近似等于函数微分的说法是不确切的。根据定义11与导数表示足够小区间dx上函数变化率的近似意义的上述讨论，应当提出：只有Δx是针对原函数增量计算的误差界的足够小dx时，f’(x)dx才能足够准地表示y=f(x)在区间上的原函数增量。对于确定的Δx，必须使用二阶导数，根据泰勒定理中的余项公式计算出误差的取值范围，只有这个误差满足误差界要求时，才可以使用函数微分近似表示原函数增量，否则，就需要使用高阶泰勒多项式进行函数增量的足够准近似计算。
例2 根据马克思《数学手稿》第22页讲到的“通过点M，M' 作割线M'S, h减少得越多，即pp'减少得越多，ps就越趋向于跟次切线PT重合，……，因此PT就是PS所趋向的极限”的论述，可以知道理想函数 在t处切线的斜率为gt。但根据理想点与现实近似点之间相互依赖的关系，这个斜率是割线斜率的趋向性的极限。
例3，马克思在《数学手稿》第19页谈了y=x^2的导数计算中附带谈了1被3除的“永远除不尽，得到的无穷数列0.3，0.33，0.333，……的趋向性极限才是1/3”的问题。这说明：“无尽循环小数不等于分数，无尽小数是实数的定义是违反实践事实的错误”。 本帖最后由 elim 于 2023-10-10 22:03 编辑
马克思的数学思想含混不清已被扬弃．取而代之的是标准分析．jzkyllcjl 是极限盲，其 \(2x\) 是近似的论断更是胡扯：误差是多少？
jzkyllcjl 不知道自己是饭桶，恰如又鸟不知道自己是只鸡。 本帖最后由 春风晚霞 于 2023-10-9 21:14 编辑
\(\large 马克思《数学手稿》最直按的应用就是:\)
\(\dfrac{1}{3}\)=\(\dfrac{3}{10}+\dfrac{3}{100}+\dfrac{3}{1000}+\dfrac{3}{10000}+…\)\(\raise{4pt}{<}\kern{-7pt}\begin{array}{*{20}{c}} {\underline{\underline{\small{\mathbf{ \hspace{0.5cm} \color{blue}{等量代换}\hspace{0.5cm}}} }}} \\ {\small{\mathbf{ \hspace{0.5cm} \color{red}{\raise{8pt}{等量代换}}\hspace{0.5cm}}}} \end{array}\kern{-7pt}\raise{4pt}{>}\)\(\dfrac{1}{3}\)=\(0.3+0.03+0.003+0.0003+…\)\(\raise{4pt}{<}\kern{-7pt}\begin{array}{*{20}{c}} {\underline{\underline{\small{\mathbf{ \hspace{0.5cm} \color{blue}{等量代换}\hspace{0.5cm}}} }}} \\ {\small{\mathbf{ \hspace{0.5cm} \color{red}{\raise{8pt}{等量代换}}\hspace{0.5cm}}}} \end{array}\kern{-7pt}\raise{4pt}{>}\)\(\dfrac{1}{3}\)=\(0.3333…\) 春风晚霞 发表于 2023-10-9 20:49
\(\large 马克思《数学手稿》最直按的应用就是:\)
\(\dfrac{1}{3}\)=\(\dfrac{3}{10}+\dfrac{3}{100}+\d ...
你的等量代换不成立。事实上，由于无穷次操作，无法进行到底，无穷次判断、无穷次并集运算都不能使用的；有人说：使用无穷级数和的表达式 解决了芝诺二分法悖论，但实际上他这个表达式左端依赖于无穷级数的前n项和 的无穷序列的极限，这个序列的趋向性极限才是1，但它永远达不到右端的整数1，二分法悖论是使用“完成了的实无限”观点造成的悖论，这个无穷级数和的表达式不成立，这个表达式解决不了二分法悖论。 本帖最后由 春风晚霞 于 2023-10-10 05:46 编辑
jzkyllcjl 发表于 2023-10-10 01:33
你的等量代换不成立。事实上，由于无穷次操作，无法进行到底，无穷次判断、无穷次并集运算都不能使用的； ...
曹老头：
根据马克思在《数学手稿》P19页中所说：“\(\frac{1}{3}\)本身是它自己的极限.假如我们把它表成级数.\(\frac{1}{3}\)=\(\frac{3}{10}\)+\(\frac{3}{100}\)+\(\frac{3}{1000}\)+\(\frac{3}{10000}\)+……在这种情况下，1/3成为它的无穷级数的极限. ”
①、马克思并不认同“极限是跎臭狗屎”，而认可极限是计算无穷级数的有力工具，否则他不会两次提及极限. 。
②、马克思并不认同【无穷次操作，无法进行到底，无穷次判断、无穷次并集运算都不能使用的】和【趋向性（趋向但不等于）极限】的提法，否则他不会给出『.\(\frac{1}{3}\)=\(\frac{3}{10}\)+\(\frac{3}{100}\)+\(\frac{3}{1000}\)+\(\frac{3}{10000}\)+……』这个等式和『\(\frac{1}{3}\)本身是它自己的极限』这个结论。
至于二分法悖这确实是潜无限思想造成的。墨子曾提出过：“非半弗斫，则不动，说在端”的实无限（即极限）思想，认为无限二分是不可能进行的。极限正是这种实无限思想在解决芝诺问题上的具体反映。所以，『使用无穷级数和的表达式 解决了芝诺二分法悖论』的提法是正确的。
春风晚霞 发表于 2023-10-10 03:10
曹老头：
根据马克思在《数学手稿》P19页中所说：“\(\frac{1}{3}\)本身是它自己的极限.假如 ...
马克思在《数学手稿》P19页中所说：“1/3本身是它自己的极限.假如我们把它表成级数.1/3=3/10+3/100+3/1000+3/10000+……在这种情况下，1/3成为它的无穷级数的极限. ”.这个叙述中不仅有'假如”二字还有“1/3成为它的无穷级数的极限”的话，根据级数和是其前n项和序列的极限的定义，这说明：1/3是无穷数列0.3，0.33，0.333，……的极限，而不是你的等式1/3=3/10+3/100+3/1000+3/10000+……，根据“假如”二字以及马克思写出的1被3除的数式，本来就应当是 除法得到的无穷数列0.3，0.33，0.333，……的极限 。你违背了马克思的愿意；再从马克思这一页前述的“函数y=x^2的导数计算”可以知道：马克思的原意是说明“导数计算的否定之否定法则的”。不是为你的“无尽小数为实数错误定义”写的。你使用的这个实数定义违背实践，必须取消或改革。 elim 发表于 2023-10-11 05:04
马克思的数学思想含混不清已被扬弃．取而代之的是标准分析．jzkyllcjl 是极限盲，其 \(2x\) 是近似的论断更 ...
对马克思的《数学手稿》需要学习 。
0 引言
不仅1900年希尔伯特提出的23个问题中的连续统假设问题与实数系统的一致性问题与1908年布劳威尔提出的三分律反例至今没有得到解决；而且由于罗素没有提出无穷集合是无法构成的非正常集合的概念，所以，使用概括性表达式 得出了“所有正常集合组成的集合是不是正常集合 ”是无法判断的罗素悖伦。为了彻底解决第一次、第二次数学危机与这些第三次数学危机问题，笔者进过60年的反复研究后，提出了使用唯物辩证法的下述四点意见。第一，由于无穷次操作，无法进行到底，无穷次判断、无穷次并集运算都不能使用的；有人说：使用无穷级数和的表达式 解决了芝诺二分法悖论，但实际上他这个表达式左端依赖于无穷级数的前n项和 的无穷序列的极限，这个序列的趋向性极限才是1，但它永远达不到右端的整数1，二分法悖论是使用“完成了的实无限”观点造成的悖论，这个无穷级数和的表达式不成立，这个表达式解决不了二分法悖论。第二，恩格斯说的“数学家的方法常常奇怪的得到正确的结果，但他们……。他们忘掉了：全部所谓纯粹数学都是研究抽象的，它的一切数量严格说来都是想象的数量，一切抽象在推到极端时就变成谬妄或自己的反面。数学的无限是从现实中借来的，……，而只能从现实中来说明，……。而这样一来，问题就说明了 ”的论述是必须使用的；第三，根据毛泽东著《矛盾论》中说的“对立统一的法则是唯物辩证法的最根本的法则”、“一切事物中包含的矛盾方面的相互依赖和相互斗争，决定一切事物的生命，推动一切事物的发展。没有什么事物是不包含矛盾的，没有矛盾就没有世界”的论述，在数学理论的阐述中，需要使用“理论与实践、理想与现实、精确与近似、无限与有限、零与非零足够小、形与数、直与曲之间的对立统一、分工合作的唯物辩证法进行”。第四，根据毛泽东在《实践论》中说的“实践、认识，再实践、再认识，这种形式，循环往复以至无穷，而实践和认识之每一循环都比较地进到了高一级的程度”的论述，在数学理论的阐述中，不能限制在形式逻辑之下，还需要知道：“数学理论的本质是：研究现实数量大小及其关系表示方法的科学”，“线段长度具有在绝对准要求下，测不准，画不准、算不准的性质”。下文讨论唯物辩证法对数学基本问题的应用。
全文2万四千字，其简短的结论是：
恩格斯的话“数学家的方法常常奇怪的得到正确的结果，但他们……。他们忘掉了：全部所谓纯粹数学都是研究抽象的，它的一切数量严格说来都是想象的数量，一切抽象在推到极端时就变成谬妄或自己的反面。数学的无限是从现实中借来的，……，而只能从现实中来说明，……。而这样一来，问题就说明了”；毛泽东的话“一切事物中包含的矛盾方面的相互依赖和相互斗争，决定一切事物的生命，推动一切事物的发展。没有什么事物是不包含矛盾的，没有矛盾就没有世界”是建立数学理论的指导思想。由于现行无穷集合论，没有尊重“无穷集合无法构造完毕”的事实，造成了“第三次数学危机的许多悖论”；造成了使用ZFC 形式语言公理下的选择公理得到的《非标准分析》是无有使用价值的累赘；由于现行《几何基础》忽略了“现实点有大小，忽略了在绝对准意义下线段长度测不准”的事实，造成了第一次数学危机无法解决；造成了“称无尽小数为实数的许多问题”。由于现性微积分“忽略了变量性无穷数列达不到其极限值”的事实，造成了第二次数学危机无法解决。总之“数学理论是研究现实数量大小、多少的自然科学，使用实事求是的唯物辩证法审查改写现行数学理论是必须的” elim 发表于 2023-10-12 02:17
马克思的数学思想含混不清已被扬弃．取而代之的是标准分析．jzkyllcjl 是极限盲，其 \(2x\) 是近似的论断更 ...
马克思的《数学手稿》对微积分做了16万字的深入的唯物辩证法研究，值得学习。elim,污蔑马克思。 例3，马克思在《数学手稿》第19页谈了y=x^2的导数计算中附带谈了1被3除的“永远除不尽，得到的无穷数列0.3，0.33，0.333，……的趋向性极限才是1/3”的问题。这说明：“无尽循环小数不等于分数，无尽小数是实数的定义是违反实践事实的错误”。 马克思的数学思想含混不清已被扬弃．取而代之的是标准分析．jzkyllcjl 是极限盲，其 \(2x\) 是近似的论断更是胡扯：误差是多少？
jzkyllcjl 不知道自己是饭桶，恰如又鸟不知道自己是只鸡。
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