数学巨匠——雅可比
数学巨匠——雅可比德国数学家雅可比是数学史上最多产的数学家之一，也是数学物理先驱，在广泛领域作出杰出贡献，特别是他在椭圆函数方面的工作被后世铭记。雅可比也是一位出色的教师，他被学生称为“19 世纪的欧拉”。尽管雅可比英年早逝，但以他名字命名的诸多概念会伴随一代代学子而永世流传。
撰文 | 约安·詹姆斯
我们现在将注意力转向阿贝尔的年轻竞争者。雅可比 (Carl Gustav Jacob Jacobi) 是我们要讨论的若干犹太数学名家中的第一位。
虽然他的名字同许多数学上的发现相联系，这反映了他广泛的兴趣，但他最知名的还是他的椭圆函数论。不太出名，但在一些方面同等重要的，是他的创新教学法，尤其是他在纯粹数学领域创立的研究讨论会。实际上在他 40 岁以前，欠佳的健康状况就过早地终结了他的职业生涯。
雅可比
卡尔·古斯塔夫·雅各布·雅可比（这是他的全名）于 1804 年 12 月 10 日出生于波茨坦，柏林科学院所在地。他的父亲西蒙（Simon）是一位银行家；关于他母亲的记载似乎不多，只知道她娘家姓莱曼（Lehmann）。这一家颇有教养、家境殷实。卡尔有一个哥哥莫里茨（Moritz），还有一个弟弟爱德华（Eduard），和一个妹妹特蕾泽（Therese）。之后，莫里茨成了圣彼得堡一位知名的物理学家，而爱德华则继承了西蒙·雅可比的家族生意。直到 12 岁，我们未来的数学家还在他一个舅舅的教导下学习古典文学和数学。他很快就被认为是一名神童。1816 年他进入波茨坦文理中学，几乎立即就升到了班级最高成绩，4 年后的 1821 年，他以古典文学、历史和数学最高分的成绩毕业，并被柏林大学录取。
在那儿的头两年，雅可比把时间分摊在古典文学、哲学和数学上。之后他仿照高斯的例子，也学习语言学。由于这个时期德国大学的数学教学还处于基础阶段，雅可比课后继续自学欧拉、勒让德和其他人的数学经典文献，在他 19 岁取得了职业教师资格之后，在柏林享有声望的约阿希姆斯塔尔文理中学提供给他一个教职。他没有接受这一职位，而是开始争取大学教师的资格。
一些关于德国及其他几个国家大学运行体制的事情需要在此说明。学生面临的只有一次考试，要么是为了进入某个职业领域的必备证书，要么是为了博士学位。这个体制有一点好处，就是学生们可以在大学间轮转，听当时的领军教授们讲课。要获得哲学博士学位，学生需要写一篇论文，同时满足其他要求。但是和今天的硕士论文一样，并不需要有原创性研究。
职业阶梯的晋升过去是、现在仍然是复杂漫长的过程。只有那些从大学而不是技术学校毕业的人才可以获得教职，之后成为大学教授。拿到博士学位后的第一步，是成为一名编外讲师，或者认证讲师：没有固定薪金，只有在大学的主持下讲课（讲师资格）及按标准收取听课学生费用的权利。追求教职的人为了要达到这一阶段，需要展示另一篇论文，即教师资格论文，但这次需要包含原创性研究，并要做大学教师资格答辩，即从提供给候选人的短列表中选择一个题目试讲。如果他能经受得起，也许会在编外讲师这个相对较低的位置上无限期地待下去，而下一个要追求的职位就是副教授。最后一步就是晋升正教授了，薪水和地位都将大大提高。
我们继续讲述雅可比的生平故事，1823 年他就部分分式写了一篇博士论文，次年完成了大学教师资格答辩，同时转信基督教；从那时起，他的犹太血统看起来不再是个障碍了。20 岁就已经是编外讲师的雅可比，教授了他在大学的第一堂课，关于三维空间曲线与曲面的解析理论。显然，他讲课的简明与生动给听众留下了深刻印象。然而看起来他没有多大机会能在柏林大学获得高级职位，所以 1826 年他搬去了普鲁士东部城市柯尼斯堡的柯尼斯堡大学，那儿的前景看起来要更好些。一年之内他就成了这所数学传统深厚的大学的副教授，五年之后成了正教授，与在柏林大学不同的是，他有了一些很有能力的同事。雅可比在那儿呆了 18 年，这是他职业生涯中最好的一段时期。
据克莱因说，雅可比在被接纳为柯尼斯堡大学教工一员的过程中遇到了困难，因为他曾对那里的每个成员出言不逊。尽管有说话直率、嘲讽挖苦的名声，他证明了自己是一名非凡的教师。他让自己表现得所知甚少，并渴望新知。他将新的数学思想引入学生课业，以让学生可以跟上他的研究课程。他的热情如此高涨，以至于他常常提供给学生他无暇发表的结果。在人文科学中之前已经有了研究讨论会，而雅可比是将它引入纯粹数学领域的第一人。
还在学生年代，雅可比就开始尝试和其他数学家通信，包括高斯和勒让德。他与后者的通信刊载在他的文集中，它们相当有趣，提供了当时研究进展的消息是如何传播的例子。一开始他们的通信涉及勒让德关于阿贝尔积分的研究，雅可比作了一些补充。勒让德对此印象深刻，也正是基于他的鼓励，雅可比才能进步神速。我们知道，勒让德对高斯特别有敌意。1828 年，克雷尔向高斯讨要一篇椭圆函数的论文之后，高斯回复称雅可比对这一课题已有涉猎，“且富有远见，鞭辟入里，形式优美，以至于我相信我可以安心发表自己的研究了。”勒让德得知此事后，满怀义愤给雅可比写信：“高斯怎么敢告诉你他已经知道你大部分的（椭圆函数）理论，而且早在 1808 年他就已经发现了它们？这种极度的厚颜无耻发生在一个本身足够优秀、无需盗用他人发现的人身上是令人难以置信的。”
1829 年夏天，25 岁的雅可比前往巴黎，顺路拜访了高斯。此行部分是为了拜访勒让德，但也是为了结识傅里叶、泊松和其他法国领军数学家。之后雅可比评论道：“傅里叶责备了我们，我和阿贝尔，因为我们没有选择学习热传导。这是真的，傅里叶认为数学的主要宗旨是公共应用和对自然现象的解释；但是他这样的哲学家本应该知道科学的唯一宗旨是人类精神的荣誉，从这一观点来看，数论的问题同太阳系的问题一样有价值。”雅可比另一位在巴黎的通信对象是埃尔米特（Charles Hermite），我们后面会提到他。
1831 年雅可比娶了玛丽·施温克（Marie Schwink），一位曾经富贵、却在投机投资中倾家荡产的商人的女儿。次年，雅可比的亲生父亲去世了。尽管他曾经衣食无忧，但此时严重的财政问题显现了，本就劳累过度的雅可比在处理这些问题的压力下一度虚脱。1842 年，他作为代表团一员出席英国科学促进协会的年会，归途中在巴黎科学院做了报告。有一幅肖像画描绘的是他这一时期的侧影，当时他 35 岁左右。
不久之后雅可比得了糖尿病，病得很重，根据医嘱，他请了一年病假。狄利克雷在亚历山大·冯·洪堡的帮助下做了安排，为他的朋友兼同事领取到一笔来自普鲁士政府的津贴，让他得以在意大利度过一段时间。在包括狄利克雷在内的优秀数学家云集的罗马度过一段漫长、舒适的康复期之后，雅可比于 1844 年回到德国。担心柯尼斯堡更加严酷的气候会对他的健康不利，他决定搬回柏林。他入选了柏林科学院，所以获得了在大学讲课的资格。尽管没有义务这样做，他还是会偶尔上课，因为他的健康状况不佳。在他主讲的一门分析力学的课上，他就拉格朗日的《分析力学》警告学生：“事实上这是一本你要非常小心的书，因为它的一些内容有着超自然的性质，而不是建立在严格证明的基础上。如果你不想被骗或者半懂不懂地相信某些会被证伪的东西，你就一定要审慎对待它。”
虽然雅可比是一个爱国者，但在 1848 年的一次政治会议上，他的一些轻率言论导致他被当做政府的不信任对象对待。结果就是他的政府津贴被停了一段时间，他试图同大学加强联系的努力也被教育部阻碍了。财政问题意味着这家人要放弃他们在首都建好的房子，他的妻子和孩子搬至一个叫做哥达的小镇，那里的生活成本低些，他则住在城市小旅馆的一个房间里。1849 年底，他得到一个维也纳大学的教授职位。就在他接受这一职位邀请后，教育部才意识到普鲁士将要失去它最重要的科学家之一，他被劝说留下。然而，1851 年初他去看望家人时染上了流感，之后又患了天花，这导致他于 1851 年 2 月 18 日撒手人寰，年仅 46 岁。他留下了妻子、五个儿子和三个女儿。
狄利克雷在柏林科学院的一次纪念讲座上，将雅可比描述为拉格朗日以来科学院最伟大的成员。尽管他在广泛的学科领域都做出了贡献，如行列式理论、数论、动力学中出现的偏微分方程和三体问题，他主要被人铭记的还是他在椭圆函数上所做的工作。如我们已经看到的，他在这方面同阿贝尔形成竞争，但是与阿贝尔不同的是，他把θ函数当做基本函数。虽然他确实是利用了阿贝尔的思想，且在阿贝尔在世时未作合适的声明，但之后他忘我地推动人们对这一理论的了解。1829 年，他发表了一篇研究报告《椭圆函数基本新理论》(Fundamenta nova theoriae functionum ellipticarum)，系统地展示了阿贝尔和他关于椭圆函数的理论。关于椭圆函数理论的历史有颇多记载。结论似乎是阿贝尔先于雅可比数年，但是高斯在更早前就发现了基本的理论。
克莱因在他对 19 世纪数学发展的记述中，对于雅可比的评价也很有趣：
相比于阿贝尔，他不够深入和创新，但是更为多面。雅可比不仅有获取纯粹科学知识的冲动，还有传授知识的渴望。这种想要激励别人的动力一方面体现在他才华横溢的教学才能上，另一方面也体现在他维护人格的坚定决心上，甚至到了不顾他人的程度。他聪明头脑的敏锐和全能，同他恶名在外、令人畏惧的讥讽之辞一起，为他连续不停的战斗提供了最有效的武器，尽管他常常被引诱着逞性地使用了它们。
雅可比可能会被拿来与欧拉作比较。当然欧拉涉足更广，但是他们都是多产的作者和不知疲倦的计算者。丝毫不令人惊讶的是，雅可比对他这位伟大前辈的著作有着特殊的兴趣，并拟定了详细的计划，要将汗牛充栋的材料（其中一些还未出版）整理成一部全集。不幸的是，事实证明当时只可能小规模地做这件事，而 1911 年就开始的欧拉论文集的出版，直到今日仍未完工。
本文转载自微信公众号“好玩的数学”，节选自《数学巨匠》，上海科技教育出版，潘澍原，林开亮等译。
约安·詹姆斯 返朴 2023-09-20 08:01 发表于北京
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