怀念杨武之老师
怀念杨武之老师作者 | 万哲先
来源 | 《数学通报》1998 年第 10 期
杨武之老师是使我受益很多的一位老师，也是我非常敬重和经常怀念的一位老师。
1943-1944 这一学年我在昆明联大附中读中学六年级。学校的全称是西南联合大学师范学院附属中学，现改名为云南师范大学附属中学。联大附中实行六年一贯制，中学六年级相当于高中三年级。开学前，我到学校注册的时候就听说，我们联大附中的主任黄钰生教授（西南联大师范学院院长，兼附中主任），为了加强我们班的教学，聘请了好几位著名的专家来教我们班的课，其中聘来教我们数学的是清华大学算学系主任兼西南联大数学系主任杨武之教授，但我们班同学也担心，大学教授会不会把中学数学看得太简单，能不能把中学数学教好？
第一节数学课，联大附中的教导主任魏泽馨老师陪着杨武之老师走进教室，向我们介绍了杨老师。魏老师告退后，杨老师就开始讲课，从远古时代人们由于生活和生产的需要，结绳记数，数数，从而发现了自然数说起；谈到后来为了把收获物分成一定的份数，以便一人分一份，从而发现了分数；再谈到为了计算简便又创造了小数，由于商业上借贷的需要又创造了负数；再谈到由于建筑上需要正方形对角线的长和圆周长，从而创造了无理数，又引进了数轴，等等。杨老师用的语言通俗易懂，讲解深入浅出，举例生动有趣，讲课引人入胜。同学们像听故事一样听得津津有味，觉得内容十分新颖，没有一个同学不在专心听讲，整个教室鸦雀无声，同学们的担心一扫而光。杨老师这一场关于数的起源和发展的开场白足足用了三节课，接着自然地把讲课从数轴引到解析几何中的坐标系，开始讲授解析几何。杨老师所勾画的数的起源和发展的蓝图，我至今记忆犹新。
杨老师讲课的一个突出的特点是不断提问，几乎每节课，我们全班二十六个同学都有可能被提问一次。上面一段介绍的杨老师讲的数的起源和发展就伴随着无数次的提问，我体会，提问最大的好处是启发学生的思维。全班同学都跟着杨老师的提问在思考，因此课堂气氛非常活跃。学生通过自己的思考而获得知识，这样知识掌握得更为灵活，更为牢固。
杨老师一再教导我们，作图要力求准确，计算要力求正确，这成为我一直遵循的准则。他还在课堂上一再提醒我们不要犯中学生常犯的一些错误，如 (a+b)^2≠a^2+b^2 ，而是 (a+b)^2=a^2+2ab+b^2 ，等等。
杨老师还经常抓住机会帮助我们复习巩固以前学过的许多知识。有一次，他提问好几个同学，梯形面积公式是什么？都答不上来。他就耐心地从单位长度为边的正方形面积为 1 讲起，讲到矩形面积公式及其推导，平行四边形面积公式及其推导，三角形面积公式及其推导，以及梯形面积公式及其推导，最后讲到圆周长和圆面积的公式。当然伴随着他的讲解是一系列的提问。这样他用了不多的时间，就帮助我们复习巩固了平面几何中面积这一章。后来他再有机会提问平面图形的面积公式，同学们都能流利地回答出来。我也一直记得他这一段精彩的关于面积的复习课。
解析几何教材中有一段是利用移轴和转轴来化简二次曲线的方程。公式的推导对于中学六年级的学生来说，非常复杂。我在预习的时候，望而生畏，心想老师讲课时，一定会把这一段推导跳过去。但是出乎我的意料，杨老师讲这一段的时候，却一步步地、仔细地在黑板上推导。他在推导过程中，不断提问，问同学怎样算下去，启发我们的思维，纠正我们计算中的错误，并教我们怎样更简单地进行计算。在这以后，无论是在学习中还是在工作中，碰到复杂的计算，我都是不厌其烦地算到底。
上面提到的几点，难免挂一漏万，但是还有一点不能不提的，就是杨老师谆谆教诲我们的态度。他一心一意想把我们数学教好，想让我们把数学学好。他虽然是大学教授，社会地位已经很高了，但是他没有一点架子，总是平易近人。无论有什么问题去问他，他都耐心地解答。无论什么时候有事到他家里去找他，他都热情接待。
1948 年秋，杨老师从昆明来到北京清华大学任教。杨师母和除当时在美国的杨振宁先生以外的子女仍留在昆明。他对于又回到久别的清华园是非常兴奋的。这学期他教一门高等代数课和一门初等数论课。当时我是初等数论课的助教，和选课同学一起听他的课。虽然大学里讲课已经没有那么多提问，但我觉得，和五年前在中学里听他的课一样，仍是启发善诱，引人入胜。那时候他已经是五十多岁的人了，一个人离开家在外面，生活困难是很多的。闲谈时，我也劝他早点把师母和子女接到北京来团聚。1948 年 12 月，他飞回昆明，把师母和子女接到上海，等待迎接上海的解放。后来，他先后在同济大学和复旦大学任教。
1953 年，我从北京出差去上海，到华山路他家里去看他。当时他在复旦大学任教，家住市内，上课的几天乘车到市郊复旦大学住几天、上课。这对于一位六十岁左右的老人来说，是很不容易的。他对清华园和清华大学以前的同事非常怀念，在和我谈话中，不断向我打听他们的情况。他还鼓励我，努力做研究，要像开矿那样，不断拓展，要越开越深，越开越大。这些形象的话，对我很有启发。1976 年，我又有机会从北京出差去上海，那时他已经离开了我们。我到他家去看杨师母，还见到他们的小女儿杨振玉女士。在和她们谈话中，我说，在我中学的最后一年很幸运有杨老师教我数学，这对我的成长很重要；而且我说，我也常用杨老师的教诲去教我的学生。杨师母向我说，杨老师和她晚年最大的安慰就是他们的子女在学业上都很有成就（用杨师母的话说，就是都很用功，都功课好）。
1997 年 3 月 25 日
万哲先 好玩的数学 2023-09-14 21:44 发表于江西
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