《作为文化体系的数学》之我读
《作为文化体系的数学》之我读作者 : 尚万虎
有一个数学家用人类学的眼光探讨数学文化并写了两本书，这个人就是美国著名的拓扑学家 R·L·怀尔德院士（R. L. Wilder ，1896-1982），他曾担任过美国数学学会 (AMS) 主席，他后来对人类学也有很大的兴趣，把人类学应用到数学领域，并先后写了两本姊妹书：《数学概念的演变》和《作为文化体系的数学》，都是迄今为止最具理论价值的数学文化专著。
《数学概念的演变》写于1968年，作者详细探讨了数的早期演变，几何的演变以及实数中对无穷的征服。作者在书中还列举了数学演变的力量，比如环境张力、遗传张力、符号化、渗透、抽象、概括、结合等等，这些因素都在十年后的姊妹书中有更详细的阐述。
十年之后的 1979 年，怀尔德又写了《作为文化体系的数学》，把上一本书中的观点做了进一步的阐发，站在人类文化学的立场，探讨数学的演变以及数学与社会的联系。
作者在第一章中就提出把数学看做一般文化的子文化，并借鉴人类学家怀特（L. A. White）的理论，把文化系统的各个成分当成一种向量，数学不是“树状”结构，而是一个向量系统，几何、代数、拓扑分别是其中的向量，这样可以更加清晰地分析和理解支配数学发展的力量。
作者在第二章介绍了数学演变中可观察到的文化模式，比如多人独立发明/发现相同的数学成果，这就是“天才的聚集”的“井喷”现象；还有“超前”现象，比如 17 世纪由笛沙格开创的射影几何被遗忘两个世纪后于 19 世纪被彭赛列等人重新发现；数学概念的不断抽象化，越是抽象的东西应用越是广泛；新概念产生的必然性，这就是“概念的张力”；数学选择不仅看它的意义和用途，也看发明者的地位；悖论与矛盾对数学发展的促进；数学的严密性是相对的，每一代数学家都认为有必要去证明前几代的隐藏假设；数学的发展模式以及数学对自然科学的有效性。
第三章详细探讨文化张力，主要内容有：
1. 数学方法和概念的渗透。比如希腊哲学的逻辑推理作为公理化方法渗透到几何之中成就了欧几里得《几何原本》的光辉典范。
2. 符号成就。比如计数发展的三大成就：（1）阿拉伯数字的出现；（2）位值的概念；（3）零的发明。
3. 环境张力。比如希腊天文学对几何的影响，希腊哲学对《几何原本》逻辑框架的影响等。环境张力促使新的数学概念的发明，对数学概念的研究产生了成熟的计数，成熟的计数满足了环境的需要，同时又促进了理论的进步。
4. 多重发明的起因：规则的例外。作者表示有三种情况不属于重复发明现象：意外事件，超前现象，不相容性的发现。
5. 伟大的结合。欧式几何是逻辑和几何结合的产物；托勒密的《天文学大成》把巴比伦的数学天文学和希腊的几何天文学相结合。
6. 抽象的飞跃。群论和集合论都是数学抽象性的伟大飞跃。数学的演变会越来越抽象，并催生出更强大的力量。
7. 伟大的概括。菲利克斯·克莱因在他的《爱尔朗根纲领》中借助变换群(1872 年)对几何进行分类。阿蒂亚一辛格的指数定理是对分析学经典的黎曼一罗奇定理的概括，并且从现代拓扑和分析中整合材料，证明了“分析指数”可以完全通过拓扑数据来计算。概括是从事研究的数学家最重要的手段之一。
第四章详细探讨遗传张力。主要内容有：
1. 遗传张力是一个复合术语，它包含了影响一种理论或一门学科发展的全部特征。
2. 遗传张力的组成。
（I）能量。大致说来，是否产生有意义和丰富的数学成果是衡量一个数学理论潜能的标准。
（II）意义。这是与能量紧密联系的一个特性，可以有效开发学科潜能。可以推测，那些对积分理论的发展感兴趣的数学家（如波雷尔、勒贝格）对集合论的意义必有几分敏感，但是真正意识到其意义是在 20 世纪。
（III）挑战。希尔伯特说：“只要一门科学分支能提供大量的问题，它就充满生命力，而研究问题的缺乏则预示着独立发展的衰亡或中止。”通过问题提出的挑战可以被看成是遗传张力最重要的组成部分之一。
（IV）概念张力。作为遗传张力最重要的组成部分之一的概念张力，是伴随着学科领域中新概念的需求而产生的，并以如下几种方式起作用：
1. 符号张力。
2. 需要新概念才能解决问题。
3. 在可供选择的理论中建立次序的张力。
4. 对数学存在的态度。
（V）地位。表示学科在数学领域的重要程度的一种文化性质通常称之为“地位”。
（VI）悖论。希腊数学的两次危机由不可通约量和芝诺悖论引起，后来被欧多克索斯成功破解。数学连续统促使康托尔无穷理论的出现，伴随而来的是一些新的悖论（如罗素悖论，所有集合的集合），后来通过公理化形式成功化解。
第五章研究结合的力量和过程，作者给出了数学结合的 15 个重要历史案例：
1. 阿卡德人采纳古苏美尔人的术语如“乘以”“求倒数”等作为特殊的数学符号；
2. 扩展巴比伦位值制来表示分数，即数字系统的结合；
3. 托勒密的《天文学大成》中提到爱奥尼亚数和巴比伦位值制的结合；
4. 印度求积法、美索不达米亚的方程解法、希腊几何代数的结合形成了阿拉伯代数；
5. 数与直线的结合构成早期分析学的基础；
6. 艺术和绘图中的射影概念和欧氏几何的射影概念结合形成射影几何;
7. 代数与逻辑结合形成数理逻辑；
8. 代数与几何结合形成解析几何；
9. 在数论研究中引入代数和分析；
10. 各种数学结构的特征结合形成抽象群论；
11. 泛函分析：西数概念与抽象空间中点的概念的结合；
12. 点集拓扑和组合拓扑结合形成代数拓扑的基础；
13. 数理逻辑与集合论结合从而使集合论中的基础问题得以解决；
14. 数学理论与物理学理论结合形成数学物理学（在应用数学中发现的一种特殊的结合情形）；
15. 在分析学（例如级数求和）和拓扑学（例如紧致性）中有穷和无穷的结合。
第六章以射影几何为例，探讨数学演变中的反常现象。
作者分析了 17 世纪射影几何没有发展起来的原因主要是以下两点：
1、“广义”几何学概念没有建立起来，射影几何只被当作欧式几何的一个扩展，没有形成概念张力。
2、缺乏正式的数学研究机构。
射影几何直到 19 世纪才成功，作者认为这归因于以下三点：
1、环境张力。例如，军事工程学校中开设画法几何课程的需要，数学制度化的日渐形成以及随之而来的数学家个人地位的建立和对纯粹几何学研究的支持。
2、内部遗传张力，尤其是挑战和概念张力。
3、创造性的数学头脑。
第七章应该是本书的重点，作者总结了 23 条数学演变的规律，犹如 23 条军规指引着数学的演变，现罗列如下：
1. 重大问题的多重独立发现或解决，是一条规律，而不是例外。
2. 新概念的演变通常是由于遗传张力或者是通过环境张力表现出来的一般文化力量造成的。
3. 如果在数学文化中提出一个概念，那么它能否被接受最终取决于这一概念的丰硕程度，而不会因为它的起源或按照一些抽象的标准来认定它是“不真实的”，从而永远将之拒之门外。
4. 新概念提出者的名声或地位能够影响这个新概念是否能被接受，尤其在新概念突破了传统时更是这样，对于新的术语或符号的发明来说也有同样的情况。
5. 一个概念或理论的重要性，既取决于其丰硕程度，又取决于它的符号的表达形式。如果概念的成果丰富，只是由于后者造成了理解上的困难，那么，一种更容易把握和理解的符号形式就会产生。
6. 如果一个理论的进展依赖于某一个问题的解决，那么这条理论的概念结构会遵循着使得这一问题得以解决的方向发展。一般来说，这将会带来一大批新的成果。
7. 如果一个数学理论的进展依赖于某些概念的结合，那么这种结合就会发生。
8. 如果数学的发展需要引入某种似乎是不合理或“不真实”的概念，那么就会为这种概念提供适当的可接受的解释。
9. 在任何时候，都有一种为数学界全体成员所共享的文化直觉，它体现出关于数学概念的基本的、可普遍接受的观点。
10. 文化或学科之间的相互渗透经常会导致新概念的产生并加速数学的发展，这里总是假设接受的一方已经具备了必要的概念基础。
11. 由宿主文化及其各种子文化（诸如科学文化）造成的环境张力，将会对数学子文化有明显作用，这种作用既可能增加也可能减少数学新概念的创造，关键要看环境张力的性质。
12. 当数学取得了重大进展或突破，而且它们的意义又为数学界公认时，就常常会引起对那些只是被部分理解的概念的新的洞悉以及对有待解决问题的新的认识。
13. 数学现行概念结构的不相容性和不完备性的发现，将导致补救性概念的产生。
14. 数学革命可以发生在形而上学、符号体系和方法论之中，而不是在数学的核心中。
15. 数学的演变导致了严密性不断提高，每—代数学家都感到有必要对先前几代人所作的隐藏假设进行证明（或否定）。
16. 数学系统的演变，只能在遗传张力作用下，借助概括与结合产生更高层次的抽象。
17. 个体数学家必须保持与数学文化主流的接触，他不仅受到数学发展现状和现有工具的制约，而且必须熟知那些具备结合潜能的概念。
18. 数学家们时常宣称，他们的课题已几乎被“彻底解决”了，即所有本质性的结果都已获得，剩下的工作只是填补细节。
19. 文化直觉认为，每一个概念、每一条理论都有一个开端。
20. 数学的最终基础是数学界的文化直觉。
21. 随着数学的发展，隐藏的假设不断被发现并得到明确的表述，其结果或是被普遍接受，或是被抛弃，在接受它的同时通常还可利用新的证明方法对假设进行分析。
22. 适当的文化气氛是数学蓬勃发展的充要条件，包括机会（opportunity）、动机（incentive，如新领域的出现、悖论或矛盾的发现）和材料（material）。
23. 由于数学的文化基础，数学中不存在什么绝对的东西，只有相对的东西。
这本书虽然写于 40 多年前，但是其中饱含着作者深刻的洞察和创新的见解，读后让人深受启发，获益匪浅。
作者在第五章说“数学中仍然存在民族特征”，“然而今天，数学本质上还是一种单一文化，所以在结合中最常见的渗透还是一种跨学科的表现形式。”
振兴中国数学是每一个中国人的期望！回望历史，中国数学长期游离于主流数学之外，最近几十年才开始发力，数学文化在中国还非常淡薄，亟需一批有才华的头脑来会通现代数学与中国传统文化，而我也想在其中贡献自己一份微薄之力。我学习数学的时候经常把一些定理和中国古诗词联系起来，虽然这不属于怀尔德说的遗传张力，但应该属于文化张力的一部分吧。
比如学过微积分的朋友应该都知道有一个富比尼定理（Fubini's Theorem），也叫迭积分（iterated integration），是说积分号下的变量如果彼此无关的话就可以随意更换积分次序而不影响最终结果。该定理的一个重要应用就是计算高斯积分，即先把 dx 的一重积分扩展为 dxdy 的二重积分，然后再转化为极坐标形式 drdθ ，这样就可以很方便地得到高斯函数的积分值：
当 XY 坐标伸长到无穷远的时候，这个无限大的矩形跟一个无限大的圆没有区别，因为它们所覆盖的都是无穷大的整个平面，所以积分是相同的。此时此刻我的脑海中立刻浮现出一个场景：圆形的天穹笼罩着四方苍茫大地！同时我的耳边响起那首熟悉的《敕勒歌》：“天苍苍，野茫茫，风吹草低见牛羊”——不好意思唱过头了，是前面一句——“天似穹庐，笼盖四野”。虽然语言不同，但是表达的意象都是一样的。领略过这番美景之后，我一辈子也忘不了这个数学公式和计算方法。这就是数学和诗词的相通之处吧！
当然这种结合还比较肤浅，以后还可以向更深的方向挖掘相关性，让数学和中国诗词相互渗透，催生出更强大的力量。
以上就是我读怀尔德《作为文化体系的数学》一书的感悟，分享给大家，希望对大家的理解有所启发和帮助。
原创 尚万虎 好玩的数学 2023-09-11 00:01 发表于江西
页:
[1]