自然数集合构造问题
在余元希的“§ 1.2 自然数的序数理论”节，使用皮亚诺（G..Peano）“任何自然数n都有继数n+1的公理，”可以得到自然数集合的元素个数是趋向于+∞的无穷集合是正确的，但还需要知道：这个继数公理的无穷次使用需要无穷长的时间，因此在任何有限时间内，这个无穷集合无法构成，这个无穷集合是无法构造完毕的想象性理想性集合。为此需要提出如下的定义2.与说明。定义2：元素个数为有限理想自然数的正常集合叫做有穷自然数集合；以元素个数无限增多的有穷自然数集合为项的无穷序列的元素个数序列的趋向于+∞：包含所有有限自然数的元素个数为非正常实数+∞的自然数集合叫做：元素个数为非正常实数+∞的含有所有自然数的，不可构造完毕的想象性质的、无穷性质的、非正常自然数集合；依照惯例，可以记作：N=｛0，1，2，3，……｝。与《非标准分析》不同，自然数集合中没有《非标准分析》的无限大自然数，但不缺少任何有限自然数。
说明1，敝人提出的 这个定义之前，使用恩格斯在《反杜林论》第一编“五、自然哲学、时间和空间”一节的，48页讲到：“杜林先生，永远做不到没有矛盾地思考现实的无限性。无限性是一个矛盾，而且充满着矛盾。无限纯粹是由有限组成的，这已经是矛盾，可是事情就是这样”的说法，提出了自然数无限集合来源于有穷集合的如下的三个无穷序列：
{0，1}，{0，1，2}，……，{0，1，2，……，n},…… （1）
或{0，1，2，……，9}，{0，1，2，……，19}，……，{0，1，2，……，10n-1}, ……(2)
或{0，1}，{0，1，2，3，4},……，{0，1，2，……， },……（3）
其中序列（1）中各个集合的元素个数为无穷数列{n+1}的变数，序列（2）中各个集合的元素个数为无穷数列{10n}的变数，序列（3）中各个集合的元素个数为无穷数列 的变数，根据菲赫金哥尔茨《微积分学教程》第一卷一分册整序变量的计算不定式, 与 的定值法则，这几个不同序列的趋向可以是元素个数不同的无穷集合。敝人还讨论了有理数集合、实数集合的构造过程及其元素编号，所有无穷集合都具有可数而又数不到底，都不是元素个数为自然数真正可数集合。康托尔的“一一对应的两个集合元素个数相等”的法则，只对有穷集合适用，但对无穷集合不适用。 事实上，现行教科书中“称有理数集合与其真子集自然数集合元素个数相等的有共同基数 ”的论述，违背了“全体大于部分”的欧几里德的公理8。
本帖最后由 elim 于 2023-9-6 13:04 编辑
自然数既不是靠人的书写也不是靠后继映射构造出来的。这事一个基本事实。这个事实被追认为无穷公理。
所以翻遍数学史，找不到人构造自然数的记载，人类可以规定自然数的表示法，例如二进制或十进制记数法等等，但计数法也不是数的构造而是表示方法。
顺便说一下，自然数的继数公理是说存在一个自然数集到自身的映射 \(n\mapsto n^+\), 满足后继映射五条法则。所以后继映射以自然数集的既存性(实无穷性)为前提。
实无穷在现行数学基础中指既存的无穷集合。这种集合是恒定的(非处于扩充过程)，但其元素的个数不是有限数。
敦促 jzkyllcjl 端正学风，不然七十几年做数学看不懂皮亚诺自然数公理，不会做除法等等，还自以为是地胡说八道，一直闹笑话，不是自取其辱是什么？ 本帖最后由 金瑞生 于 2023-8-22 11:16 编辑
对于数学归纳法而言，有了这个公理就足够！何须构造自然数集？而且按照集合的表示方法，自然数集只要几秒就可构造完成！你除了画蛇添足一无所能！;P你的无穷观缺少人类智慧，除了给人类制造麻烦一无所能！你就是数学界的李登辉！;P 在曹俊云所说的曹俊云所谓的“改革”“依赖真理”“会成功”的前提下，曹俊云半途而废，就是曹俊云愚蠢！曹俊云就是二百五！ 定理：曹俊云是个无怨无悔死心塌地的资深二百五。
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