阿贝尔——英年早逝的数学奇才
阿贝尔——英年早逝的数学奇才作者 | 邓明立
来源 |《数学文化》2014 年第 5 卷第 3 期，“好玩的数学”转载
在人类社会发展的历史长河中，数学功不可没。数学是随着社会生产力的发展，由数学家，特别是大数学家创造出的不朽业绩。这些数学的创造者们——数学家，或少年聪慧、才华横溢、头角峥嵘；或天性鲁钝、中年发奋、大器晚成。挪威数学家尼尔斯·亨里克·阿贝尔（Niels Henrik Abel，1802-1829）无疑属于前者，他天资聪慧，本该平步青云，但却屡遭坎坷，终至英年早逝，不免令人惋惜。阿贝尔对数学做出了巨大贡献，以其名字命名的数学概念、定理不下 20 个，他是经典数学的奠基人之一。传奇的生活经历、坚贞不屈的个人品格，又大大增加了他在挪威人民心中的分量，在数学越来越重要的当代，他已经成为挪威的民族英雄。他的姓名和肖像不时出现在挪威纸币、铜币和邮票上，以其名字命名的大奖——阿贝尔奖则是数学界的最高奖之一。
一、动乱年代 自学成才（1802-1821）
阿贝尔 1802 年 8 月 5 日出生于挪威西南海岸线上斯塔万格（Stavanger）的一个小岛——芬岛（Finnoy）。当时正值著名的拿破仑时代，整个欧洲大陆都处于战争的阴影之下，由于丹麦是法国的盟友，作为丹麦属国的挪威自然就成了英国打击的对象。挪威本土受到了英国舰队的封锁，这导致 1807-1814 年挪威的大饥荒。习惯于当今数字化生活的现代人很难想象那个时代：没有火车，没有电，当然更别提手机和电脑了。阿贝尔小时候没有上学，因为偏僻的地方根本就没有小学，他在家里接受了父亲的启蒙教育。阿贝尔的父亲索伦（Soren Abel，1772-1820）是个牧师，曾在哥本哈根大学接受过高等教育，这是挪威当时可以接受到的最高教育，后来他还曾两任议员，工作稳定，生活倒还可以维持。阿贝尔有一个大家庭，他有一个哥哥，五个弟弟，还有一个妹妹。那时的家庭一般都很大，有的甚至有十几、二十多个子女。
阿贝尔的故乡斯塔万格在欧洲的位置
1814 年，拿破仑战争失败，丹麦作为法国的盟友也倒了霉。根据《基尔条约》，丹麦被迫将属国挪威割让给瑞典，挪威则抓住这次机会乘机独立，这可惹恼了瑞典。瑞典人的入侵迫使挪威答应与瑞典结成联盟，不过主导方是瑞典，挪威还是低人一等。
13 岁的时候，阿贝尔和他的哥哥汉斯（Hans Abel，1800-1842）被送往首都克里斯蒂安尼亚1的教会学校学习。但是，阿贝尔似乎不太适应那里的生活，开始两年，学习成绩还算差强人意，接着分数就逐步下滑。在学校里，阿贝尔时常变得忧郁，他害羞，害怕孤单。他哥哥汉斯的情况则更糟，患上了神经衰弱，最后不得不被送回家。
一件偶然的事情改变了阿贝尔的一生，数学老师霍尔姆博（B. M. Holmboe，1795-1850）发现了分数不高的阿贝尔在数学上有着极高的天赋，这真是万幸。正如布特纳（Buttner）之于高斯一样，这位仅比阿贝尔大 7 岁的数学教师在课程范围之外给阿贝尔布置更难的习题，还向他推荐更深的书让他自学。今日，各种数学专著琳琅满目、汗牛充栋，可 200 多年前那个时代没有现在这么多的教材，教辅和科普读物就更不用提了。要学数学，只有去读十几位数学大师的原著。最主要的是欧拉（L. Euler，1707-1783）和法国几位大数学家，像拉格朗日（L. Lagrange，1736-1813）、拉普拉斯（P.S.d. Laplace，1749-1827）、勒让德（A.M. Legendre，1752-1830）等。其中欧拉的书如《无穷分析引论》、《微分学》、《积分学》、《代数引论》等条理清楚，很适合自学。特别是《无穷分析引论》，总结了当时大量丰富的数学成果，与稍后高斯（C.F. Gauss，1777-1855）的《算术研究》齐名。所以拉普拉斯有“读读欧拉，他是我们所有人的老师”的说法。这也验证了阿贝尔的座右铭：“直接向大师学习，而不是向他们的学生学。”由于这些书是用拉丁语、法语或德语写的，阿贝尔因此也学会了法语和德语，后来阿贝尔能熟练地用法文写作。
欧拉的《无穷分析引论》对后来的数学家产生了不可估量的巨大影响
阿贝尔不久就超过了他的老师霍尔姆博，霍尔姆博也确实有美德，到处宣扬阿贝尔的才能，处处为他的成才铺路。通过霍尔姆博，阿贝尔甚至见到了克里斯蒂安尼亚大学的顶尖教授韩斯廷（Christopher Hansteen，1784-1873）以及唯一的数学教授拉斯穆森（Soren Rasmussen，1768-1850）。原来霍尔姆博曾是克里斯蒂安尼亚大学韩斯廷教授的助教，由于阿贝尔所在教会中学的数学老师因体罚学生而被解职，才从大学调到中学。这至少可以说明两点，一是那时的中小学老师体罚学生是常事，数学史家贝尔（E.T. Bell，1883-1960）这样写道：“所谓的教学方法，就是将学生们鞭打到愚蠢的程度，让学生们害怕到连自己的名字也忘了。”第二，数学教师对数学天才的成长至关重要，因此加强中小学数学教师的培养绝对是有必要的，难怪德意志的复兴要从中小学教师培养开始。
阿贝尔 18 岁那年，正当他埋头于数学原著，在数学上突飞猛进的时候，他的父亲去世了，家庭生活迅速陷入了贫困的境地，平静的学习生活很快被打破。然而阿贝尔没有被贫困打倒，他仍然继续攻读所有到手的数学书籍。正如他以后常常在信中提到，当时所有的数学，不管是重要的还是不重要的，他都已经掌握，现在该是搞点研究的时候了。
阿贝尔在中学的最后一年，下定决心去解一个公开的问题，一个 300 年来使许多大数学家困惑的五次方程的求解问题。年轻人一般不太谦虚，极端一点的更是自以为是，总觉得自己就是为解决这个问题而生的。阿贝尔认为自己“发现”了求解公式，后来的雅可比（C.G. Jacobi，1804-1851）和伽罗瓦（E. Galois，1811-1832）也不例外，他们一度都觉得自己找到了答案，有时候数学家们出奇地类似。
法国传奇数学家——伽罗瓦，他和阿贝尔彻底解决了五次方程根式解的问题
阿贝尔把他“发现”的求解公式写成论文之后，挪威竟没有人能够看懂，当时也没有刊物能发表他的结果。于是大学教授韩斯廷亲自出面把论文寄给丹麦的数学家德根（Ferdinand Degen，1766-1825）教授，请他在丹麦科学院发表。在北欧，丹麦是一个文化中心，不过在数学上还是落后于一流的法国和二流的德国，因此只能算是三流了。德根也没能发现论文中的任何漏洞，不过他很谨慎。由于过程繁复，他要求阿贝尔用具体的例子来阐明他的公式。挪威当时相对封闭落后，要是没有国外的高人指点，再大的天才也将被埋没。德根在数学史上当然不是什么重要的数学家，但德根教授提了两点意见，对阿贝尔启发很大：
1. 阿贝尔得出的求解公式要用具体例子来解释。
2. 五次方程方向很窄，椭圆函数是一个很好的研究领域。
从 1815 年到 1821 年，阿贝尔上了六年教会学校，大致相当于现在的中学。那时的课程主要是语言，挪威语自不必说，希腊语、拉丁语、德语、法语、英语也是要学的。拉丁语是当时的学术语言，而其他语言的学习对他后来出国也是大有用处。
二、大学时代 欧洲之行（1821-1827）
1821 年，阿贝尔进入了克里斯蒂安尼亚大学，阿贝尔的父亲生前曾参与筹办过这所大学。克里斯蒂安尼亚大学于 1811 年成立，办学模式仿照刚刚成立的柏林大学。不过克里斯蒂安尼亚大学成立之初只有 5 位教授，17 名学生。虽说是大学，但却没有什么像样的课程，因为就高等数学来说，当时挪威根本就没什么人懂，而更高深的数学还要等阿贝尔等人去创造。
阿贝尔当时已经小有名气，几位大学教授自己掏腰包支持这个穷孩子上学，否则阿贝尔就得失学了。阿贝尔一年就拿到哲学副博士（Candidatus Philosophias）的学位，相当于现在的学士学位。但他没有浪费时间，而是抓紧一切时间读原著，思考问题，写论文。那时挪威还没有像样的期刊登载原创的论文，韩斯廷教授为了祖国的科学事业创办了一份杂志——《自然科学杂志》，这样阿贝尔也就有了自己的园地发表论文了。
1823 年暑假，拉斯穆森教授资助了阿贝尔 100 台拉，让阿贝尔到丹麦会见德根教授。阿贝尔在哥本哈根停留了两个月，见到了给他提出修改意见的德根教授和其他丹麦数学家，期间他住在了韩斯廷教授夫人的娘家。果然，回国以后，他又重新研究起五次方程的求解问题，正是在寻找例子的过程中他发现了自己的错误。这一次他采取否定的观点，并取得了成功，最终证明一般五次方程不可能根式求解。他首先证明，可以用根式求解的方程，其根的表达式中根式均可表成方程的根和某些单位根的有理函数。为了扩大这篇文章的影响，他决定写成法文自费出版。而为了节约开支，他不得不大大压缩篇幅，使得这篇法文相当难懂，他把这篇论文寄给许多大数学家，包括当时的数学王子——高斯，结果毫无反应。
阿贝尔解决的这个难题：一般五次和五次以上方程没有根式解，是数学上石破天惊的大事，这是数学中第一个不可解的大问题。他告诉那些妄图对五次方程给出根式解公式的人：此路不通。不过总有人“不信邪”，这些人中有外国人，也有中国人。英国数学家杰拉德（G.B. Jerrard，1804-1863）始终不承认阿贝尔的工作，至死都认为自己得出了求解公式，科克（J.Clokle，1819-1895）直到 1862 年还认为这个问题尚未解决，甚至阿贝尔去世百年之后，中国还有这样的人，结果为当时年轻的华罗庚所批驳。如此看来，阿贝尔也算是为中国数学做贡献了，如果不是为了反驳苏家驹的论文，熊庆来可能就不知道有华罗庚这个人了。
自学成才的中国数学家华罗庚（1910-1985）
阿贝尔在哥本哈根见了世面之后，萌生了到巴黎的想法。19 世纪 20 年代，世界的数学中心在巴黎，更确切地说是法国科学院，科学院里有几位数学院士，尽管他们有各种各样的缺点，但在学术上绝对一流。得到他们的肯定，对年轻人的成长十分重要。像阿贝尔这样的天才，应该首先去巴黎。
但他无法再从教授们那里得到资助，教授们也不富裕。阿贝尔只得向政府申请资助，政府办事虽然拖拉，但在几位教授的强烈推荐下，最后还是决定资助阿贝尔 600 台拉出国两年。要说挪威政府绝对够意思，因为当时的挪威很贫弱，比不了现在，资助阿贝尔出国旅行研究数学也算是冒险。不过资助也有附加条件，他要继续待在挪威学习语言，等到大学毕业后才能成行。阿贝尔只好继续呆在祖国，不过他从未中断过自己的思考。大学 4 年毕业后，阿贝尔在 1825 年夏天走出国门。
本来阿贝尔应该直奔巴黎，但当时挪威还有其他 4 位学生同他一起出国学习，他们的目的地是柏林，阿贝尔害怕孤单的性格使他决定随他们一起先到柏林。当时德根已故，丹麦的一位数学家给他写了推荐信，让他到柏林后去见克莱尔（A.L. Crelle，1780-1855）。说起克莱尔，大多数人首先想到了《克莱尔杂志》，而对克莱尔本人知之甚少。工程师克莱尔可是普鲁士王国管基建的部长级人物。他做城市规划，还修建了德国第一条铁路。克莱尔非常爱好数学，不遗余力地发展数学事业，德国第一份专业的数学期刊——《纯粹与应用数学杂志》正是由他创办的，《克莱尔杂志》后来成为19世纪一流的数学杂志。
克莱尔（1780-1855）
遇见克莱尔是阿贝尔的一大幸运，阿贝尔生前几乎所有的数学手稿都发表在《克莱尔杂志》上了。1825-1826 年的整个冬天，阿贝尔都呆在了柏林，这一时期他极其多产，仅第一卷《克莱尔杂志》就包含阿贝尔的 6 篇论文，包括那篇经典的代数方程文章，这时阿贝尔逐渐成长为一名一流的数学家。毫无疑问，阿贝尔有着无与伦比的天才，他在中学时就能自学那些数学大师们的著作，并且超过他的老师霍尔姆博、拉斯穆森和韩斯廷。但是他更加勤奋，在与阿贝尔同行的 4 位学生中，有一位学兽医的学生波克（C.F. Boeck），他回忆起阿贝尔最深的印象就是在柏林期间，阿贝尔几乎每晚都点着蜡烛，在从事写作或者计算。有一次阿贝尔在脑海中有了某个想法，但在检查时又觉得不通，于是接着证。终于有一天，在他的同行好友熟睡的时候，阿贝尔突然兴奋地大叫，这吵醒了他们，原来一瞬之间阿贝尔已经得到了证明。
中国数学家吴文俊（1919-）
无独有偶，我国著名数学家吴文俊也有过这样的经历。1947 年，任职中央研究院数学研究所主任2的陈省身到清华大学教课，吴文俊与曹锡华同行。在清华，吴文俊和曹锡华同住一间宿舍。吴文俊每晚攻关惠特尼乘积公式到深夜，觉得证明出来了才上床睡觉，早晨一醒来，对曹锡华说证出来了。到晚上时发现证明有错，于是继续攻关，第二天早晨醒来，又对曹锡华说证好了，到了下午发现证明还有漏洞，如此反复多次，终获成功，这篇成果最终发表在《数学年刊》（Annals of Mathematics）上。这样看来，天才除天资超常之外，也是艰苦漫长勤奋之路的必然结果。华罗庚那句“聪明在于勤奋，天才在于积累”的名言就是对阿贝尔最好的诠释。
1826 年春天来临之际，阿贝尔去巴黎的计划又一次搁浅，他学地质的朋友要去中南欧进行地质考察，害怕孤单的阿贝尔又一次决定与他们同行，同时阿贝尔也想开开眼界，他还给自己找了个借口，说要去拜访奥地利的数学家。
1826年3月他们离开柏林，经莱比锡和德累斯顿，然后又经布拉格去维也纳，然后到意大利北部威尼斯，最后到阿尔卑斯山，并由此进入法国。这个近乎半圆形的旅行虽然极大地增长了阿贝尔的见识，但也耽误和耗费了他不少时间和经费，这几乎是致命的。
1826 年 7 月阿贝尔终于到了巴黎，不过他的运气却急转直下。住宿极差、伙食极差、房租极高，这些他还能勉强承受，因为他的目的是见大人物。但是法国数学的大权威们都很难接近，根本不把年轻人当一回事，且假期大都去乡下休养去了。虽然后来，该见的都见到了，但是效果并不理想，没人赏识他的工作。这后来也成了勒让德的终生遗憾，等到后来他认识到阿贝尔工作的重要性时，阿贝尔早已去世了，不过他衷心赞美了阿贝尔的椭圆函数工作。
1826 年 10 月份，阿贝尔向法国科学院提交了一篇题为《论一类极广泛超越函数的一个一般性质》的大论文，提出了比椭圆积分和椭圆函数更广泛的阿贝尔积分和阿贝尔函数，并证明了阿贝尔大定理。科学院让柯西（A.L. Cauchy，1789-1857）审，照规矩，审稿人应该给出报告，然而很久没有下文，甚至后来连论文都找不到了。那时的柯西 30 多岁，正是个人的拼搏时代，他不太在乎年轻人的成果。阿贝尔去世很久之后这篇论文才找到并发表出来，柯西说它太难懂，这或许是实话。至于柯西找到这份论文也有插曲，源于雅可比的质询，并引发了挪威政府的抗议：
阿贝尔先生的这个发现（指椭圆函数手稿）是什么样的发现啊！……有谁看见过同样的东西？这个发现，也许是我们这个世纪最伟大的发现……可你的同事怎么会没注意到它呢？”
阿贝尔的手稿大多遗失了，现挪威国家图书馆保存有三份阿贝尔的手稿（都是关于椭圆函数的）。关于这三份手稿，也有一段曲折的传奇经历。
作为《克莱尔杂志》的负责人，克莱尔保留了阿贝尔的大部分手稿。后来克莱尔将部分阿贝尔的手稿赠送或出售给意大利数学史家兼收藏家里贝瑞（G.Libri，1803-1869），后者曾在巴黎和伦敦大规模出售旧书、信件和手稿。当他晚年返回故乡佛罗伦萨后，他一直没能有效组织他密集收集的材料。他去世后，许多材料四散，有些甚至被用作包装纸。一部分到了藏书家曼佐尼（G. Manzoni）手中，他又将自己收藏的一部分卖给了当时著名的收藏家邦孔帕尼（P.B. Boncompagni，1821-1894）。邦孔帕尼本人同时还是一位卓越的数学史家，他曾创立刊物《数理科学文献与历史通报》，包括数学家花拉子米（Al Khwarizmi，780-850）的《代数学》和斐波那契（Leonardo Pisano Fibonacci，1170-1250）《算术之书》在内的诸多经典著作正是在他手中得以收集、考证、翻译、修订和出版。邦孔帕尼于1898年将他的收藏品销售，瑞典数学家米塔格-莱夫勒（M.G. Mittag-Leffler，1846-1927）购买了部分从中世纪到当时的数学单行本，还有三份阿贝尔的手稿。
三份手稿中已经有两份发表在《克莱尔杂志》上，其中一份还包含了阿贝尔写给克莱尔的信，信中阿贝尔告诉克莱尔他的病情并解释了为什么他不得不放弃数学工作。第三份手稿则在此之前从没有人见过，后来发表在《数学学报》（Acta Mathematica）上，这是为了纪念阿贝尔诞辰100周年，特意向阿贝尔和他的数学致敬。
《克莱尔杂志》
1902 年手稿出版后，米塔格-莱夫勒将阿贝尔的手稿放在了他在斯德哥尔摩郊外别墅的保险柜里，它们在那里存放了 100 年。米塔格-莱夫勒的别墅于 1916 捐赠给瑞典皇家科学院，作为筹建数学所用，由于米塔格-莱夫勒对瑞典数学的杰出贡献，该所后来被称为米塔格-莱夫勒数学研究所。2001 年，有人发现了这些手稿，经过长达 6 年的谈判，2007 年 10 月 31 日，挪威科学与人文学院与米塔格-莱夫勒数学研究所和瑞典皇家科学院达成协议，12 月 6 日，手稿被送到奥斯陆的挪威国家图书馆。阿贝尔的手稿成为挪威科学与人文学院成立 150 周年最好的礼物。
在巴黎，孤独、忧郁和失望常常伴随着阿贝尔，他和霍尔姆博的通信清晰地表明了优雅的法国人如何地难以接触，看话剧则成了他排遣忧郁的主要方式之一。不过在巴黎也有收获，他认识了旅居巴黎的挪威画家格罗斯（J.A. Gros），他为阿贝尔作了一幅肖像。这是阿贝尔一生唯一的肖像，现保存在奥斯陆大学。从他的肖像来看，阿贝尔有着精致的外表。以笔者所在的学校为例，帅气的阿贝尔深受数学系女生的青睐和喜爱，如果评选历史上最帅的数学家，阿贝尔应该有一席之地。与此同时，在距离他仅仅几英里远的地方，另一位悲惨数学家——伽罗瓦正在思考阿贝尔同样感兴趣过的五次方程根式解的问题，但他们从未会面。如果他们能会面，之后的数学史则有可能要重新书写。伽罗瓦各方面都比阿贝尔更凄惨，甚至生前连张正式的肖像都没有，现在我们看到的伽罗瓦肖像是由其弟弟根据回忆绘制的。
阿贝尔雕像
从 1826 年 7 月到圣诞节，阿贝尔在巴黎待了半年。1826 年圣诞节之后阿贝尔打算回家了，因为他的钱差不多已经花光了，又被诊断为肺结核。接着他又在柏林呆了三个月，但身无分文，又是霍尔姆博借给他 360 台拉，克莱尔也尽力帮助他。这段时期，他把自己最长的论文《关于椭圆函数的研究》写出，是系统论述椭圆函数的。这篇论文完成了椭圆积分向椭圆函数研究的转变，发表在 1827 年 9 月的《克莱尔杂志》上。
三、贫病交迫 黯然离世（1827-1829）
1827 年 5 月，阿贝尔结束了欧洲之行回到克里斯蒂安尼亚，不过情况完全没有好转，他陷入贫病交加的境地。延长资助被拒绝，也没有职位提供给阿贝尔，本来阿贝尔是可以获得一个职位的，在阿贝尔远行欧洲大陆期间，克里斯蒂安尼亚大学的拉斯穆森教授在挪威银行谋得了一个职位，辞去了教授工作，但大学任命他的老师霍尔姆博接替拉斯穆森，这一度使阿贝尔极为失望，但他与霍尔姆博的友谊没有因此中断，阿贝尔没有忘记在他最困难的时候，正是霍尔姆博帮助了他。但是在阿贝尔去世留名引起全挪威人的注意后，大学和霍尔姆博受到了极大的非议，这当然是后话。不过学校还是给了他一小笔津贴，但阿贝尔仍需靠做家庭教师来弥补生活。直到 1828 年，韩斯廷教授得到了一笔资助到西伯利亚进行地磁研究，他的职位由阿贝尔暂代，阿贝尔的经济情况才有所好转。
这时，阿贝尔的才能逐渐得到了欧洲大陆数学家们的赏识。他发表的十几篇论文已无可争议地表明，他是当时最伟大的几位数学家之一。这时出现了一位竞争对手——雅可比。数学家之间优先权之争屡见不鲜，关键是发表的前后顺序。雅可比发表的只是摘要，这使阿贝尔指出，雅可比的结果是自己论文的推论，从而确立了自己的优先地位，要知道雅可比也是工作起来不要命的家伙。与后来的庞加莱（H. Poincaré，1854-1912）和克莱因（F. Klein，1849-1925）两人因自守函数的竞争一样，虽说鹬蚌相争，数学得利，但数学家们彼此都在身体，有时也在心灵上受到了巨大的伤害，阿贝尔和雅可比都不是长寿的数学家。阿贝尔过早离世，实际上是多种因素共同作用的结果，由此看来，重病的阿贝尔真是累死的。
阿贝尔有一位未婚妻——肯普（C. Kemp，1804-1862），是他在 1823 年去丹麦的一次偶然机会认识的，由于阿贝尔的经济条件，他们的婚姻始终遥遥无期。阿贝尔从欧洲大陆回来后，肯普在挪威南部拥有一家铁厂的史密斯家谋得了一份工作，阿贝尔在那里和肯普共同度过了 1828 年的夏天，他的病情稍有缓解。那年圣诞节来临之际，阿贝尔再度从克里斯蒂安尼亚到史密斯家里去与他的未婚妻度假，但圣诞刚过他就卧床不起了。肺结核在当时是不治之症，令人感动的是，本该长期卧床的阿贝尔还拖着病弱的身躯拼命写论文。这段时间肯普一直都守护在他身边，阿贝尔生前最牵挂的就是肯普，他曾给他的朋友凯尔豪（B. Keilhau，1797-1858）介绍肯普，没想到阿贝尔去世后凯尔豪果然和肯普走到了一起，后来凯尔豪成为了一名教授，肯普尽心尽力地照顾他。
然而，死神还是不期而至。1829 年 4 月 6 日，阿贝尔离开了人世，只活了 26 年又 8 个月。阿贝尔去世两天之后，克莱尔的信就到了，在信中克莱尔高兴地告诉他，已经为他谋到柏林大学的教授职位。与此同时，法国科学院为了弥补对阿贝尔论文的忽视，将阿贝尔 1826 年的论文发表在《法兰西科学院著名科学家论文集》上，但这都太晚了。
1982 年 500 挪威克朗上的阿贝尔
纪念阿贝尔的邮票
阿贝尔的一生，是贫穷、辛苦的一生，他得到了重要的数学结果，可没有得到及时的承认；他没有正式的工作，却有许多弟弟妹妹要养活；他有理想的未婚妻，却因为经济条件不能结婚……与阿贝尔事迹最接近的数学家是黎曼（B. Riemann，1826-1866），出生于多子女的家庭，一生受贫穷困扰，在数学诸多方向做出了开拓性的贡献，早逝于肺结核。
我们不禁有一个问题：在与阿贝尔同行的 4 位挪威学生中，日后有 3 位成了地质学家，还有 1 位成了兽医，为何最杰出的阿贝尔反而谋不到一个职位呢？尽管有法兰西科学院的 4 位院士联名致电挪威-瑞典国王，但最终也没有成功，最后还是克莱尔在柏林帮他谋到了一个职位。
这主要源于 19 世纪数学的发展趋势。在 19 世纪之前，大部分的数学来源于具体的应用问题（数论除外），数据测量和数值计算占据大部分内容。像拉格朗日、拉普拉斯、高斯这些人都不仅仅是纯粹数学家，他们也从事大量的应用数学研究。比如高斯长期主持天文台，还曾为政府部门测量过大地，因为能解决具体的问题，诸如此类的活动比较容易得到政府的青睐和资助，政府发展数学往往带有军事、测量等其他目的，可以说这时数学发展和进步的主要动力来自外部。像挪威这样贫弱的国家当然不愿意也拿不出职位来多供养一个研究纯粹数学的数学家，因为阿贝尔的数学在当时看来毫无用处。这听起来像是一个巨大的讽刺，阿贝尔的部分数学成就后来成为现代放射医学的数学基础。
从 19 世纪开始，随着新科学精神的兴起，“为了科学而科学”成为科学的首要目标，数学的发展开始更多地受到来自内部的驱动。纯粹数学逐渐与应用数学分离，日益地专门化，出现了分析这一门学科，并迅速占据了主要位置。随着纯粹数学的兴起以及部分纯粹数学家对应用数学的“蔑视”，就连《克莱尔杂志》也发生了某种微妙的变化，从起初纯粹数学和应用数学兼容并包，到后来逐渐成为纯数学研究的主阵地，难怪后来有人调侃《克莱尔杂志》为《纯粹数学与无用数学杂志》。在这方面做得最过头的数学家当属哈代和布尔巴基学派，《一个数学家的辩白》和《数学原理》直白地宣泄了他们的观点。阿贝尔没赶上纯粹数学受到重视的好时光。
四、代数分析 逆向思考
阿贝尔的贡献主要是在代数和分析两大领域。在代数学和分析学的课本中都能看到阿贝尔的大名。阿贝尔在代数方面的贡献已然石破天惊，然而他在分析方面（分析的严格化、椭圆函数论以及积分方程）的贡献更是划时代的，这点常被人忽略。
绝大多数大学生都要学微积分，微积分又常被冠以高等数学教程。微积分的基本对象是函数、极限、连续性等等，其中核心是函数，微分和积分则可看成是由函数变成另外一个函数的运算。微积分还有一个更加响亮的名字——高等数学，这门被简称为“高数”的学科成了非数学专业学生名符其实的“高树”，不少人挂在其上。如今已有包括牛顿-莱布尼茨公式在内的部分内容下放到高中数学，其主要目的就是避免高中数学与大学数学的脱节。更有甚者简单地把微积分和数学分析划等号，笔者完全不认同这观点。微积分虽号称是高等数学，实际上并不高等；安德鲁·韦伊（A. Weil，1906-1998）写的数论名曰初等数论，却是难得出奇，所以单凭名字是很难说明问题的。微积分与数学分析相比还是有很大的不同，可以这么说：微积分只不过是数学分析的 ABC 。
阿贝尔去世 100 周年纪念邮票
从历史上看，微积分诞生于 17 世纪，分析成形于 18-19 世纪。微积分处理的一般是一些比较好的函数（如多项式函数，显然这是从代数方程而来），而分析中的函数大都是超越函数。当时数学家们按照代数的观点来处理分析，认为：“代数是有限的分析，分析是无穷的代数。”数学家们的办法就是将超越函数展成幂级数，这是微积分与数学分析的主要差别之一。数学家们间或也有收敛或发散的考虑，但却不以为意。特别是自从欧拉得出 ∑1/n^2 后，形式化地使用无穷级数风靡一时，常用来表示函数和微分方程的解。这种形式的无穷推广所起的作用绝对不可低估，只有有了无穷表达式，才能将具体的函数向前推进一步，得出一般的函数，当然在取得丰硕成果的同时也得出了一些诸如 1＋2＋4＋8＋…＝-1 这样的错误结果，但在当时这被认为是正确的。直到 19 世纪初，数学家们才开始考虑将分析算术化并建立在严格的基础上，而分析的严格化正是从阿贝尔开始的。
级数收敛判定
阿贝尔首先认识到形式幂级数必须考虑其收敛和发散区域，他证明，如果幂级数在 x＝a 处收敛，则在 |x|＜a 处也收敛。而这首先要确定无穷级数收敛的判据，阿贝尔（1826）是继柯西（1821）之后首先给出收敛性判据的。如今这两个结果普遍为我们熟悉，翻译成现代语言为：
这之后还有很多判别法，如拉阿贝判别法（1832）、德·摩根判别法（1842）、贝特朗判别法（1842）、邦内判别法（1843）、库默尔判别法（1845）……，到19世纪末，已经得到最一般的收敛判据。
阿贝尔另一项重要结果是纠正柯西的一个大错。柯西无疑是数学分析严格化的一大功臣，但他的基础并不牢固。1821 年，柯西证明处处收敛的连续函数级数的和也是连续函数，但阿贝尔在 1826 年给出反例，如今常作为习题出现在数学分析的课本上。阿贝尔还认识到一致收敛的重要性，经过半个多世纪的研究，一致收敛的重要性被清楚地认识到，它与幂级数的逐项微分及积分密切相关，而这常常困扰着我们那些刚学数学分析的学生们。
椭圆函数
阿贝尔的成就延续到 20 世纪甚至今天的是椭圆函数论及其推广。椭圆函数论从分析上被纳入了复变函数论，从几何上被纳入了代数几何论。20 世纪末费马大定理的证明就是靠的椭圆曲线，而椭圆曲线正是用椭圆函数参数化的曲线。
椭圆函数纪念邮票
笔者所在的学校里，在学完数学分析后，常有学生问这个问题：“除了狄利克雷函数与黎曼函数之外，还有没有别的非初等函数？能否介绍一些比较著名的非初等函数？”有！椭圆函数就是最好的例子，它不能通过诸如指数函数、对数函数、幂函数、三角函数和反三角函数等基本初等函数经过有限次有理运算及复合得到。椭圆函数极大地扩展了函数的概念，这在当时可是个了不得的结果，因为那时候狄利克雷函数、分段函数还没有概念，也就是说椭圆函数早于狄利克雷函数。
阿贝尔在 1823 年就有了反演的想法，1827 年发表第一篇论文，而雅可比在 1827 年才开始研究椭圆函数，并写了一篇没有证明的论文。其后两人都发表这方面的论文，毫无疑问，阿贝尔处于领先的地位。由于阿贝尔在 1829 年的英年早逝，其后雅可比才占据了主导地位。1830 年 6 月，法国科学院把大奖同时授予阿贝尔和雅可比，这时阿贝尔已经获得了全世界的认可。
积分方程
阿贝尔在分析方向除了前两个“第一”或“开创”之外，也许还应该加上第三个，那就是积分方程。从微积分创立起，就开始求解微分方程，因为自然科学特别是物理学得出的方程大都是微分方程，但也有部分积分方程来源于数学物理，与微分方程相比，积分方程大约晚了两个世纪。1823年阿贝尔从一个力学问题出发得出了第一个积分方程
我们不妨来看一下这个问题，顺便看看自己能不能解出来。这篇文章是用挪威文写的，翻译成汉语如下：
问题：一个质点沿一条光滑曲线在重力场中降落，假定由高为 y 处落在最低点 0 处所需的时间 T 为高度 y 的已知函数 f(y) ，求曲线形状。
积分方程在 19 世纪末形成了系统的理论，在 20 世纪初成为泛函分析的先导，并最终通向希尔伯特空间的理论。而阿贝尔的伟大创造，是这一领域的先声。
五、民族英雄 数学名人
将数学家和民族英雄联系起来，少之又少。提起出身数学的民族英雄，人们会想到谁呢？阻挡罗马军队入侵叙拉古城的阿基米德（Archimedes，B287-B212）？破译德军超级密码的图灵（A. Turing，1912-1954）？随着历史观的变化，人们对民族英雄的认识也逐渐发生了变化。比如一项伟大发明的发明人，一项为世界做出贡献的学说的创立者，都可以称为民族英雄。
挪威是一个伟大的民族和国家，尤以自己人民对世界文化和精神文明的贡献自豪，但挪威最引以为傲的竟然是它的数学。挪威历史上不乏名人，我们耳熟能详的有：剧作家易卜生（H. Ibsen，1828-1906），作曲家格里格（E. Grieg，1882-1949），画家蒙克（E. Munch，1863-1944），此外还有探险家南森（F. Nansen，1867-1930）和阿蒙森（R. Amundsen，1872-1928）……挪威也有许多立足世界的科学家，获得过诺贝尔科学奖的科学家也有2位，但在所有的挪威名人中，打头阵的却是数学家阿贝尔，不是因为他的姓氏靠前，而是因为他的数学贡献实在太大。
阿贝尔在数学上的地位是开创数学的新领域、新方向，在这方面，他本可与 19 世纪初最伟大的数学家高斯和柯西相提并论。可惜，天不假年，他没有完成自己开创的事业。不过，后来的天才数学家们漂亮地建成了他所奠基的大厦，而他的思想方法与精神力量更是激励后来的数学家建功立业，特别是挪威的数学家们。
算上阿贝尔，挪威至少产生过 8 位国际知名的数学家。依次为：
● 西洛（L. Sylow，1832-1918），他在群论方面留下不朽业绩，首先是群论最基本定理——西洛定理。他和李编辑了阿贝尔的全集和通信集。
● 李（S. Lie，1842-1899），他创立的李群及李代数理论是当代数学的核心之一。
● 布隆（V. Brun，1885-1978），开创布隆筛法对中国数论有重大影响，证明孪生素数的重要定理。
● 斯科朗（T. Skolem，1887-1963），数理逻辑学家，特别对公理集合论和模型论有突出贡献。
● 图埃（A. Thue，1888-1951），对丢番图逼近有重大贡献。
● 奥尔（O. Ore，1899-1968），组合与图论专家，写过阿贝尔的传记。
● 塞尔伯格（A. Selberg，1917-2007），20世纪最伟大的挪威数学家，因素数定理初等证明获1950年菲尔兹奖。引进塞尔伯格筛法，1956年引入迹公式，1986年获沃尔夫奖。
国际知名的挪威数学家 ：西洛、李、布隆、塞尔伯格
阿贝尔能从当时贫穷、落后、闭塞的挪威脱颖而出，确实是个奇迹，他理所当然地成为了挪威人民的骄傲。这种骄傲和印度人民之于拉马努金（Ramanujan，1887-1920），中国人民之于华罗庚、陈景润一样。奥斯陆王宫前的阿贝尔和恶龙搏斗的雕像便是明证，奥斯陆大学也有一座楼以阿贝尔命名。挪威国王哈拉德五世在参加纪念阿贝尔诞辰 200 周年大会的开幕词中骄傲地宣称阿贝尔是挪威的民族英雄。
挪威一个小国，在阿贝尔之后，却能培养出这么多世界著名的数学家，没有高度繁荣的数学文化是不可能的。在数学文化高度发达的挪威，阿贝尔无疑是一位数学名人，挪威发行了大量有关阿贝尔的纪念品。阿贝尔的肖像赫然出现在 1948-1991 年的面值 500 的挪威克朗上。1929 年为了纪念阿贝尔逝世 100 周年，挪威发行了 4 枚纪念邮票。2002 年阿贝尔诞辰 200 周年之际，挪威政府又发行了两版阿贝尔的邮票。同年 10 月，挪威政府为配合全国邮展“Nordia 2002”又发行了阿贝尔加字邮票，这是挪威近 30 年来首次发行加字邮票，发行量不超过 25 万枚，每名集邮爱好者更是被限制最多订购 10 张。2002 年 8 月，挪威还发行了印有阿贝尔肖像的 20 挪威克朗铜币。此外，在月球上还有一座以阿贝尔命名的环形火山。国际天文学联合会也于 2002 年决定将一颗小行星命名为阿贝尔。除此之外，在挪威还有一架以阿贝尔命名的飞行器……挪威对阿贝尔这位数学名人的纪念规格之高可见一斑。而阿贝尔奖，更是将阿贝尔推向了全世界。
六、世纪大奖 无上荣誉
谁不知道诺贝尔（A. Nobel，1833-1896）的大名？瑞典人诺贝尔不设数学奖，有关的传闻自然不会少，但大多数都是子虚乌有的传说，最流行的有诺贝尔和瑞典数学家米塔格-莱夫勒的情敌关系之说，这完全是无稽之谈。瑞典人在物理、化学、生理医学方向在强手如林的世界中屡屡获奖，挪威人就不行了，但挪威人也有强项，那就是数学。
挪威人开始为荣誉而战，他们要倾全国之力设立一个国际数学奖，就用挪威产生过的最有名望的人——数学家阿贝尔来命名，并希望在阿贝尔诞辰 100 周年之际设立，那年诺贝尔奖刚颁发一年。遗憾的是，阿贝尔没有遗留财产，奖金只能靠国家，靠有钱人来捐献了。对于当时的挪威来说，这真有点勉为其难。
1902 年的计划搁浅之后，又过了 100 年，在阿贝尔诞辰 200 周年之际，挪威政府和科学院终于推出了奖金最高的世界数学奖——阿贝尔奖。为此，2001 年挪威政府专门拨款 2 亿挪威克朗作为启动资金。挪威这样的小国按 GDP 计算远远赶不上中国，可它的人均 GDP 却远超中国，甚至超过美国和日本。挪威用自己纳税人的钱颁发了数学上堪与诺贝尔奖匹敌的阿贝尔奖。
阿贝尔奖金和诺贝尔奖金在不同的年代会有所不同。阿贝尔奖初次颁发时，奖金大约 80 万美元（600 万挪威克朗），而同期的诺贝尔奖金则高达 140 万美元（1000 万瑞典克朗）。由于近年来挪威克朗升值，而与之相反，瑞典克朗却在贬值，由此造成 2012 年诺贝尔奖金大幅缩水。2012 年每项诺贝尔奖金为 110 万美元（800 万瑞典克朗），而 2012 年阿贝尔奖金则为 105 万美元（600 万挪威克朗），这真是名符其实的匹敌了。阿贝尔奖因此也被誉为“数学界的诺贝尔奖”。
阿贝尔奖一般在 3 月份由挪威科学与人文学院公布获奖人选，我国著名数学家田刚是阿贝尔奖评定委员会的委员之一，这是首次有中国人出现在这个位置。5 月 20 日前后在挪威首都奥斯陆颁发，由挪威国王亲自给获奖者颁奖。每次颁奖之际，挪威都会迎来一次盛大的节日。数学报告、音乐会、还有获奖者向阿贝尔的雕像敬献花篮……
从 2003 年阿贝尔奖首次颁发以来，截至 2014 年共有 14 位数学家获奖，他们当中不乏一些菲尔兹奖和沃尔夫奖得主。阿贝尔奖和菲尔兹奖类似，都只颁给数学家，不同的是菲尔兹奖是每 4 年颁发一次，且只奖励年龄在 40 岁以下的年轻数学家，阿贝尔奖则对获奖者没有年龄限制，且奖金异常丰厚。从获奖者来看，阿贝尔奖类似于沃尔夫奖，有终身成就奖的意味，但沃尔夫奖不止颁给数学，还涵盖物理、化学、农业、医学等领域。这三大奖是数学的最高奖项，甚至有数学家获得过全部的三项数学大奖，到目前为止，只有4位数学家获此殊荣。
历届阿贝尔奖获得者：
● 2003年：塞尔（1954年菲尔兹奖、2000年沃尔夫奖得主，首位获得数学界三项大奖的数学家，获奖领域：拓扑、代数几何、数论）
● 2004年：阿蒂亚（1966年菲尔兹奖得主）、辛格（获奖领域：指标定理）
● 2005年：拉克斯（1987年沃尔夫奖得主，获奖领域：偏微分方程）
● 2006年：卡尔松（1992年沃尔夫奖获得主，获奖领域：调和分析、动力系统）
● 2007年：瓦拉丹（获奖领域：概率）
● 2008年：汤普森（1970年菲尔兹奖、1992年沃尔夫奖得主，第二位获得数学界三项大奖的数学家）、蒂茨（1993年沃尔夫奖得主）（获奖领域：代数）
● 2009年：格罗莫夫（1993年沃尔夫奖得主，获奖领域：几何）
● 2010年：塔特（2002年沃尔夫奖得主，获奖领域：数论）
● 2011年：米尔诺（1962年菲尔兹奖、1989年沃尔夫奖得主，第三位获得数学界三项大奖的数学家，获奖领域：拓扑、几何）
● 2012年：塞迈雷迪（获奖领域：离散数学、理论计算机科学）
● 2013年，德利涅（1978年菲尔兹奖、1988年沃尔夫奖得主，第四位获得数学界三项大奖的数学家，获奖领域：代数几何、数论和表示论）
● 2014年，西奈（1997年沃尔夫奖得主，获奖领域：动力系统、遍历理论与数学物理）
本文获国家自然科学基金 11320002 资助。
注释
1 即现在的奥斯陆，1925 年更名。
2 数学研究所，姜立夫任筹备处主任，因赴美由陈省身任代理主任。1948 年数学所正式成立，陈省身任代理所长。
3 这里主要指椭圆函数，而不是代数方程，另有说法说够数学家忙上 500 年。
参考文献
1. N.H. Abel. Oeuvres Completes de N.H. Abel. L.S ylow, S. Lie（eds.）2vols., Christiania, 1881.
2. O.Ore, Niels Henrik Abel. Mathematician Extraordinary, University of Minnesota Press, 1957.
3. 胡作玄，《近代数学史》, 山东教育出版社, 2006.
4. Stubhaug, Arild. Niels Henrik Abel and His Times. Trans. by Richard R. Daly. Springer, 2000.
5. Niels Henrik Abel: Le Grand Mathématicien（1802-1829）Centreculturel de Frolands verk. 2002.
6. http://www.abelprize.no
作者简介：邓明立，河北师范大学教授，《数学文化》期刊编委。
好玩的数学 2023-07-30 07:02 发表于江西
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