专访 Persi Diaconis 教授
专访 Persi Diaconis 教授策划：刘太平
访问：刘太平、黄启瑞
时间：2023 年 3 月 6 日
地点：中央研究院数学研究所
整理：编辑室
来源：《数学传播》2023 年第 47 卷第 2 期（186）
Persi Diaconis 教授 1945 年 1 月 31 日出生于纽约，1971 年获纽约社区大学学士学位，1972 年及 1974 年获哈佛大学硕士及博士学位。他曾任教哈佛大学，目前是斯坦福大学的数学系暨统计系教授。因他对掷硬币和扑克牌洗牌等方面的机率论做出了杰出贡献，他曾获颁诸多重大奖项，包括 MacArthur 奖（1982 年），并且是美国国家科学院院士（1995 年）。访谈中，读者将一睹他传奇的职业生涯和他独特的数学见解。
刘太平（以下简称刘）：欢迎来访，Persi 。你这么热诚，充满活力。很高兴你来！
Persi Diaconis（以下简称“D”）：我仍然深爱数学。
刘：这让我想起了一个故事。有次我在 Palo Alto 和 Louis Nirenberg 共进午餐，他说他想退休。但他其实不必退休，所以我问他为什么要退休。他说：有这么多经典好书，但我从来没时间读它们。几年后，他退休了，我又问他：“你的好书读得如何？” 他说：没办法，我还在做数学。就以这作为开场白，我们可以开始了。
D：有你们两个好伙伴，真好，我很愉快。能见到启瑞，真是个惊喜; 很高兴见到你。
黄启瑞（以下简称黄）：谢谢。
D：当然，我们认识很久了。
黄：是的，我们认识很久，40 年了。从 1980 年代，应该是 1982 年至今。
刘：我有时会说：某某事在你出生之前发生。Persi ，你在这里，我就不能这么说了。
D：是的。我们同年龄，都是老家伙。但是有老的和老朽的 …… 你知道的，Joe Keller ，我的意思是，他未曾老过。
刘：真高兴你能来，我们会操劳你的。
D：我会保护自己。
刘：话说这个系列，名为“许振荣讲座”。许教授是台湾首位做研究的数学家，在东北大学（Tohoku University）获得博士学位。他过世后，夫人捐赠了一笔资金，于是我们有了这个构想。中研院数学所非常乐意赞助，与中华民国数学会共襄盛举。中华民国数学会的会长应该会在你的第一个演讲做介绍。这系列讲座始自 2011 年，一开始我们请了几位日本学者，因为许振荣先生是从日本获得学位，我们有某种感念。深谷（Fukaya） 是第一位演讲者。
D：深谷，目前在石溪（Stony Brook）？
刘：是的，石溪。
D：他近来有点争议性。我的意思是，有些人说：“这是错的”，然后他说：“不，不”。它的工作确实有争议; 非常抽象，我一无所知，但 Yasha Eliashberg 认为他很杰出。现在 John Pardon 正试图解决各个问题。
刘：原来如此。我们继续讨论一下这个话题，然后再回头谈谈你自己。Arnold 在斯坦福大学时，确实提到了其中的一些，然后他说：“另一方面，Gromov ，我不知道为什么，他永远是对的”。Arnold 就是这么说的。
D：我曾在公共场合和 Arnold 斗嘴。他做了 3 次演讲。我的演讲谈的是洗牌。这大概是 30 年前的事。我说：“虽然我的洗牌是和排列群（permutation group）相关，但它们适用于其他类型，也就是 Lie 理论：A 型、B 型、C 型、D 型”。所以，我說：“所有这些公式在一般类型也是正确的”。一个声音从这三百人的观众中传来，带着浓重的俄罗斯口音：“你的理论怎么看待 E8 ？” 我说：我不在乎 E8 ，因为它没有 n 。我不会让 n 趋近于无限，我不在乎”。那一个：没有自己的 E8 定理的人，不是数学家。我说：那人是谁？。他是 Arnold 。演讲之后，我走到他面前，试图与他结识，因为他是一个杰出的人物。他甚至不和我说话。我的意思是，我没有自己的定理。现在，我有一个关于 E8 的定理，但那是 30 年后的事了。他是个硬汉，Arnold 。
刘：非常硬。是的。但是，你知道，他在不同的环境中成长。
D：是的。但 Yasha 也出自那个环境。
刘：是的，是的。
D：Yasha，他是那么和善。
刘：我知道。
D：而且总是正面的。
刘：我想谈一件人们一直难以理解的事; 它已经成为关于 Persi Diaconis 的民间传说。那就是：你很小的时候就离开了家。
D：14 岁。
刘：14 。这么小的年纪。以我的成长经历来说，这非常奇妙：我出走了。然后怎么办？首先，我需要吃饭，需要睡觉等等，对吧？是的。那么，怎么办到的？
D：我是个认真的业余魔术师。小时候，你怀着我们现在无法重获的热情做事。那个时代，最会耍戏法的魔术师名叫 Dave Vernon 。他在我 13 岁时认识了我，那时我常在魔术商店里闲逛，老是旷课。我喜欢魔术。魔术师们会在周六会面，有一次他打电话给我说：“我要去 Delaware 州。你要来吗？” 我说：“要”。他说：“星期二两点在西边高速公路见”。就这样，我收拾好行李就走了，再也没有回家。我成为他的助手，再也没有回去。我们走遍了美国。他是一个表演者。实际上，他的年龄是我的 4 倍多; 我 14 岁，他大概是 68 岁。一直以来，有一个认真的业余魔术师组成的世界，你可以靠演讲为生，周游各个城市给演讲; 他通常就做这事。但有时他会办场表演，或在电视演出，而我是他的助手。我就是这样过活的。魔术师会互相照顾。这是一个非常和善的社群。没有什么坏事发生在我身上。有钱的家伙提供你住宿。我有奇妙的冒险经历。我绝不愿和世界任何人换行业的。而后他去了西岸，在洛杉矶开始经营所谓的魔术城堡（Magic Castle）; 它至今仍在那里。我 16 岁时回到纽约，在下东区找了一套公寓，月付约 18 美元，尽我所能以魔术为生。我不是大明星，但足以谋生。有时顺利。我去了香港，在希尔顿酒店表演，也去了南美。但也经常没事做。有时我去波士顿办场表演，之后住在剧场寄宿公寓，那里的人说：“喔，我们那边需要一位魔术师”。我就这样过活，直到 24 岁。而后我开始上大学，学校位在纽约。回首过往 10 年，当魔术师来养活自己的路程，真是美好。我在魔术界仍然有很好的朋友。某方面来说，那是一个有意思的世界。譬如，如果你去一个陌生的城市，你会打电话给一个你不认识的数学家说：“嘿，我是一个数学家。我在这个地区。我们能见面吗？” 你可能会，但大多数人不会。但是魔术师会如此，因为这是一个秘密社团，他们何其高兴能遇到可以交谈的人。有件事我尚未达成; 然而在这趟台湾之行，也许我会解决问题。我对魔术史非常感兴趣，中国魔术史是很隐密的。例如，中国著名的魔术技巧，有一项是连环（linking ring）。你有几个很大的环，原本它们是分开的，而后其中的几个连接在一起，对吧？这首次出现在西方时，正值中国军队、杂耍演员和一些东西在 1820 年左右来到西方。我也不知道它是从 1720 年，还是从 20 年开始出现在中国。我们不知道。没有人知道中国魔术的历史。台湾一定会有人知道，因为这里有认真的学者。此地，诸如中国科学史和中国数学史，都有非常谨慎的工作。譬如李约瑟。但是魔术史; 我非常努力地在台湾搜索，希望寻获认真的魔术学者，迄今都失败，至今如此。
刘：说到魔术，在四川，有一种魔术叫“变脸”，可以变换脸。只是个快速的动作，然后他们就变脸了。
D：我看过，太让人赞叹了。
刘：是的。而这是严格的职业机密，不对外透露，只传承给儿子、女婿或特殊人物。
D：我看过有人这样做，真是了不起。
刘：我不懂魔术。魔术的本质是什么？当然，对外人来说，这是魔术，做了一些违反物理定律的事情等等。但要如何成为技艺精湛的魔术师呢？你必须有敏感的手，或者你必须深入分析思考？
D：这很重要。但是，也有一些出色的表演者，不太擅长变戏法，但很会表演。他们可以一面伸手碰触脚灯，一面与人交谈，然后他们的助手就有了大箱子。我变戏法、花招（sleight of hand）; 这没那么容易。那么，魔术的定义是什么？ “看似违反自然法则？” 我的意思是，这是一种定义。我和 Ron Graham 合写了一本关于数学和魔术的书，里面有很多关于魔术哲学的东西。一方面，要有一种张力; 因为当你表演时，就像任何戏剧一样，有一种叫做剧院魅力的东西，让你忘记戏院里有演员，而你成为故事的一部分; 它起了这种作用。不知怎地，即使是看电影时，我们也忘记了我们坐在电影院里。所以，魔术有这个面向，让人甘愿暂停怀疑。但是，你必须愚弄别人，否则你就只是叙事剧里的演员。但如果你一味愚弄别人，说：“现在，你看。注意我的手。我的袖子里什么都没有”。如果你只专注于愚弄人们，那么你就失去了剧院魅力。所以说，有一种张力。这就像一部好的推理小说; 它必须是好的写作并且吸引你; 喔，到底是谁干的？你必须反复思量，因为如果只是“这是一个上锁的房间”，如此等等，那么就没有故事，你看了也毫不在乎，对吧？如果只是故事，那就不是一部好的推理小说。这与魔术非常相似。优秀的表演者可以沿着山脊走动; 让你极想知道那是怎么回事，同时又让你感到欣喜。你感到惊讶，让表演者带着你走，到让你更加快乐的地方。没有那么多好的魔术师。却有很多很多不好的。
刘：这让我想到了数学教学。有时你在演讲中会说，“谁在乎（Who cares）？” 对吧？对我来说，这应该意味着，听起来很抽象的问题：数论，组合数学，概率论，实际上有一个非常直观的开始。
D：我总是这样认为的。
刘：是的。在我看来，你有这种神奇的能力，让人们觉得，“是的，这个数学问题，它是相当抽象的。但实际上，它可能和一些具体的，甚至是直觉的日常事物相关”。
D：嗯，这在算法中或许很重要，或者在科学计算、打好牌或实际的东西中很重要。应用数学方面也有同样的问题。我的意思是，可以真正应用的东西，不同于那些仅仅因为某人能力够、或因为有人认为它很美，而发展出理论的东西; 你知道两者之间的区别。后者没错，非常好。有很多很多成功的人在做数学，因为那些东西是美丽或有趣的; 50 年后，那些正好是我所需要的。但另一方面，也有很多胡扯抽象的东西。
刘：是的。它会被遗忘，但当人们需要它时，又会重新发现它。
D：是的。
刘：你如何，在过了一些年的魔术表演之后，对自己说：我对数学有这种发自内心深处的热爱？
D：不，不是这样单纯。是比这更有意思的故事。魔术师对狡诈的赌徒非常感兴趣，他们玩纸牌和掷硬币时小心翼翼地作弊。每当我的老导师到达一个新城市时，我们都会尝试结识那些狡诈的赌徒。你会认为这是不可能的。这完全不是不可能的。首先，你得知一个来自其他城市的名字，也知道狡诈的赌徒不能告诉任何人他们做了什么。因此，当有人对他们的作为感兴趣，并且不会泄露秘密时，他们会很高兴。我们总是寻找赌徒，不仅是狡诈的，有时还有那些变戏法之余还巧妙下注，借此来取得优势的人。有各种诡谲的赌注。掷一对骰子，你等到两个 7 出来，或者 6 和 8 出来。每个人都知道 7 是最可能的数字，所以如果我必须等到两个 7，或者 6 和 8，我会取两个 7 。这是不对的，因为它可以是 6 和 8 ，8 和 6 ，实际上直觉不一定对。在各种游戏中都有一些诡谲的赌注，我对那些赌注很感兴趣，而且我非常擅长弄清楚它们。我不是真的理解自己在做什么，但我会与人讨论并且学习。我问一个朋友：“有没有一本我可以读的机率书？” 他说，“有的，Feller 的书《机率论导论及其应用，第 1 卷（An Introduction to Probability Theory and Its Applications，Volume 1）》。这是最好的书”。所以我在 18 岁、17 岁左右买了一本。但我看不懂，因为我不会微积分。于是，我开始上大学，是为了学习怎么阅读 Feller 。我会想学习，因为你翻个几页就感觉到：“哇，这很有趣”，即使你读不懂。Feller 会讲故事，让它变得有趣。书里有各种各样的应用及他的意见。他是一位非常优秀的作者。但是我不懂微积分，所以我不得不学习微积分。一个有趣的故事我可以告诉学生：我不知道上学意味着什么。我前三年的微积分成绩是 C 、C 和 D。而后我选修高等微积分，老师说：“你自己知道，你是个聪明人，但你必须学习”。我以为自己要做的就是去听课，然后就会能说“知道了”。他说：不。我要请你在考试中证明这些问题。你应该把它们写下来多练习”。我说：“喔，我从未如此”。我独自一人，没有导师，是这个人，Tony D'Aristotle ，告诉我的。所以，我开始学习，喜欢它。我学了很多数学，我仍然喜欢它。当时是在社区学院（city college），纽约最大的免费学校，位于 Harlem 区中部的第 137 街。学数学的学生们坐在一张桌子旁。我没有家人。我的意思是，我离家出走。对我来说，这是一个社群，数学是一个社群。我们彼此喜欢，我们互相支持。如果有人遇到麻烦，你帮助他们。这是一个家庭，自昔至今一直是一个家庭。那是很久以前的事了，这是另一个我喜爱数学的理由。但是，我不得不考虑：再下去该怎么办？一开始我晚上去上课。在社区学院，你可以只选课，如果成绩及格，就可以换到白天上课。我没有高中文凭或任何东西，但他们让你选课，这还可行。就这样我喜欢上了数学。我选修实变，非常有趣。然后问题来了，我想去读研究所。我想，“好吧，我试试”。我申请了几所数学研究所，但有一所 ⋯ 我想去哈佛，因为我是个穷孩子，而哈佛就是哈佛; 就是：哇，哈佛。我的老师们拒绝写信去哈佛。他们说，社区学院从来没有人进入过哈佛数学系。那时他们的信都还是用手写的，我们不会写这信。我就这样申请了哈佛大学统计系，招生委员会里有一位认真的业余魔术师 Fred Mosteller 。有一位帮我写信的人是 Martin Gardner 。他写的信说：“我对数学一无所知，但在过去 10 年投注的 10 个最佳纸牌技巧中，这个孩子发明了其中的两个。你们应该给他一个机会”。Fred Mosteller 说：“我们给他一个机会”。所以，他们让我进入哈佛统计系，我想：“喔，我会转去数学，但我喜欢统计学。可以的”。你可以自称统计学家，然后去做任何事情，因为我就是个例子，对吧？这就是我过渡的方式。那段时间，我一直以魔术为生，因为我必须谋生。我还是个年轻小伙子。我不是大明星或什么人物。有时你赚一百美元，有时你赚 25 美元。我去了英格兰，担纲男子俱乐部的开场表演。他们会有一个歌手、一个喜剧演员，通常还会有一个脱衣舞娘，这是最主要的：一个脱衣舞娘，外加一个魔术师，对吧？我们每晚做三场演出，赚到 50 镑。那些人是我的朋友，他们仍然是我的朋友。我这样做了六个月，赚的钱不多，但是我生活、我冒险，非常的好。有一个非常活络的魔术社群，至今我仍和他们交流。
刘：在我看来，你善用了西方世界提供的自由。
D：是的。
刘：人们有正确的心态，会说：“我们给这个人一个机会”。
D：是的，譬如说法国，就不一样了; 离开 10 年后回来，非常非常困难。这里或许可能？如果你退出了体系？我不知道。可以吗？在台湾，有人可以这样起步吗？当然可以。你可以去社区大学。你可以 ……，但很难，对吧？这更难。在美国？好吧，它发生了。
刘：对你来说，它不仅仅是个地方。它是哈佛，提供一流的教育，对吧？但即使在社区学院，在你拿了 C 、C 、D 的成绩后，也有人对你说：“是的，你搞错了。身为学生，你需要做功课”，然后还是容许你继续求学。
D：我做了功课。我可以解题，但我不知道自己必须为考试而学习。就是如此。我从来没有想过。我只是觉得我很笨，没有能够看到这点。我以为只要坐在那里看就行了。
刘：我明白。事实上，需要更用功些才能熟练。
D：一旦我得知这个想法，情况就好转了。
刘：不过，仍然要有动机。你说，“好，我知道如何下注，每次都能占一点优势，确实是机率理论在帮我。我需要学习机率论。在此之前，我需要学习微积分。” 这是一个非常合乎逻辑的推理。
D：我有很好的老师。记得我第一次去上初等机率的课时，头一遭听到中心极限定理。这是一个相当大的班级，可能有 40 人。我打断了授课。说：“什么？真的？我的意思是，任何分布都归结到钟形曲线？” 我只是想：这真是太好了。我说：“那太好了”。老师没有修理我。他说：“是的，这很了不起。这是一个伟大的定理。一种普遍性的体现。” 他们很高兴。社区学院的老师想教普罗大众; 我的意思是，他们接纳来自不同背景的人; 如果有人闪现光点，老师就会去照亮他们，帮助他们。这非常好。
刘：是的。这些年来社区大学是否有些改变？
D：嗯，我在那里的期间，它已经开始改变了。社区学院的设置，曾经是为了那些想留在纽约的聪明年轻人。在我求学期间，首先是 1968 年，由于越战，街头发生骚乱，社区学院变了。有人说：“每个人都应该能够进入社区学院。但是有些人没有背景，譬如少数民族和其他人。因此，我们要改变结构。” 他们曾经有各种各样的大学部课程：实变、微分几何、偏微分方程，都删掉了。他们制作了一个分数加法和读比例尺的课程，让学生为就业做准备。这发生在我求学期间。呃，这真的很可怕，因为他们让所有人去教补救课程。现在情况好多了。当然，他们确实在教书，让任何想去的人有一个机会。此外，社区学院与城市大学（city university）不同。你知道，城市大学声誉卓著，非常斯文高雅。它们有非常优秀的数学家，做最好的抽象数学。那里的数学没有那么多的应用性。我们认识城市大学的应用数学家吗？我不认识任何在那里做实际应用的人。
黄：话说 Feller 的书，你觉得它对学生的学习有帮助吗？
D：我认为这是一本很了不起的书。我开始在哈佛教书时，想到了 Feller ; 这是一本很好的书。但是，当然，如果你想学机率，除了离散机率之外，还必须学习连续机率，对吧？所以我也需要……
黄：第 2 册。
D：第 2 册。对。我教大学部课程，指定第 1 册和第 2 册为教科书; 学生们来上课，他们很震惊。这也许是 1985 的事。但为什么 Wiley 从不降低价格，或制作廉价版的 Feller ⋯ 所以，每册是 200 美元。学生们问：“我们必须买这些书吗？” 它们是很了不起的书。我教过 Feller 。它们对学生来说很困难，水平略高，而且也充满错误。我的意思是，在段落层次来看，它很精彩。但在句子层面上，它经常是不对的。然后，在章节层面，他没有讲到 Martingale 。他有自己的看法。他的出身是偏微分方程。Feller 是一名分析学者。但关于什么是几率，什么是机率的核心，它有一种奇妙的风味。我不知道还有哪本书有这种风味。现在每个人都在教 Ross 的书 ，这没关系，还不错。我上次在斯坦福大学教机率时，也是教 Feller 的书。这是一种有趣的教学方式，我的意思是，人们不知道的是，学生现在不懂分析。我意指的是什么样的分析？log(1-x)=-∑x^i/i ，或者如何进行估计。学生们不再学习这些了。但也许在应用数学或者数论中，他们会学到如何进行估计。但特别是美国研究生和大学生，并没有学会如何获得有用的上限和下限，从公式中得到数字。他们没有学到。Feller 的书到处有这些东西。这很重要。
黄：这是一本很难的书。我读了它，但不是整本书。而且习题非常困难。
D：是的，这是真的。这是一本很难的书。真是难。但这是哈佛和斯坦福，聪明的学生。这是一门成功的课程; 我是说，他们没有半途离开。他们离开的时刻，都是在我教了一些自己一无所知的东西时，譬如抽象代数、建物或更不堪的，这时班级很快就会缩减成 4 或 6 个学生。但 Feller 总是 …… 因为这是一本很精彩的书。我能让他们接触到 Feller，那就好。我做过类似的事情。你知道 Knuth ，Don Knuth，伟大的 Don Knuth。他也写了很了不起的书，我用它们教组合数学，因为我想：或许我能让学生们接触 Knuth …… 我无法涵盖 700 页，但上次我教大学部组合学时，使用了第 4A 册，有排列、组合、集合分区、图形等等，应有尽有。它又用它们做出东西，真的用它们一起做出东西。它不只说，我们这样做是因为它有趣，或因为它很好玩。重要的是，如果我能教给学生们那些东西，让他们阅读 Knuth 其他的书，那就是给学生的一份礼物。虽然它们也是困难的书，但他在书后有习题的解答。好书无价。应该要有人列出好书的清单。
黄：Stirling 公式的逼近公式通常很粗糙。
D：是的。
黄：但我需要一些进阶的逼近公式。我在 Feller 的书中找到了。
D：告诉我们！我在课堂上教那个，两节课才做出 Stirling 公式 ⋯ 嗯，很好，我以前每堂课都这样做。对，如果你想找到 Stirling 公式非常好的上限和下限，Louis Gordon 在《American Mathematical Monthly》 上有一篇精彩的文章 , 有美丽、最佳的、有用的上限和下限。但是，当然，在 Abromowitz 和 Stegun 的书 中，你也可以找到一些，但 Louis 的更好，使用了 Gamma 随机变量的机率来证明。在组合数学中，通常满意于此：这里有一些序列，它们有一个生成函数，然后，瞧，我们可以写下右侧的封闭解（closed form），然后停下来。它是没用的！当 n 为 52 时，它说了些什么？n 为 100 时，它说了什么？Feller 解释了如何从公式中获得数字，这很有价值。我仍然尝试这样做。
刘：来换个话题。回头看，你曾在剧院做魔术师、纸牌等等，但在职业生涯的后期，你又回到了洗牌等等。这和你当魔术师的时候稍有不同，对吧？
D：没有太大的不同。例如，这就是我如何第一次学到二进制数。我会解释的。魔术师和狡诈的赌徒可以完美地洗牌; 完美意味着你将它们精确地切成两半。你有（洗牌的声音）。1, 1, 1, ... 好。现在，为什么有趣呢？好吧，假设我在上面有 4 张王牌。如果我完美地洗一次牌，那么每隔两张它们会现身，对吧？每隔一张会出现。如果我洗两次牌，它们就是每隔四张会现身。如果我发牌给 4 位玩家，我就会拿到王牌，对吧？
刘：这是非常确定性的。
D：嗯，當然。这是完美的洗牌，但仍然 …… 我想我 13 岁时就学会了这个; 我在魔术店里闲逛，一个家伙从英国来访 …… 好的，有两种完美的洗牌。和我谈论洗牌就像和加州人谈论葡萄酒，你知道吗？你会听到 ……
刘：欲罢不能。
D：哦，不，不，我会停下来。所有两种完美的洗牌：in-shuffle ，最上面的牌去到内部; out-shuffle ，最上面的牌留在外面。它们稍有不同。那么，你能用这些做什么呢？假设我想将最上面的牌带到位置 6 ; 魔术师可能想把最上面的牌带到一个已知的位置。我了解到，如果你把最上面的牌带到位置 J ，你取 J 减去 1 并用二进制表示，然后如果你运作洗牌序列，其中 1 是 in-shuffle ，0 是 out-shuffle ，I-O-I-I-O ，你会把最上面的牌带到 J 的位置。这就是我对二进位数的了解。当孩子们对棒球或足球感兴趣时，他们会着迷，对吧？所以我痴迷于练习。例如，一副牌要恢复原状需要 8 次完美的洗牌，需要 8 次完美的 out-shuffle 。我学会那条漫长的路途。你洗牌，洗牌，直到他们回复原状。我意识到，如果你做任何重复的事情，卡片当然会回复原状。嗯，当你 13 岁，14 岁的时候，这是一个很大的发现，对吧？所以，即使它不是数学，仍然是数学，让我对数学有些感觉。我从研究所毕业时，我想：“我只是要成为一名数学家，统计学家，我不会告诉任何人和魔术有关的东西，因为他们只想谈论魔术的那些东西。我现在做的是数学。”后来，不知怎的，Ron Graham 和我想了解 in-shuffle 和 out-shuffle 能做出什么排列。如果开始时最上面有四张王牌，而你要发牌给五位玩家，能否在洗牌后让庄家拿到王牌？这是一个和对称群相关的数学问题。我无法回答很多这样的问题。似乎是在 1975 年，Don Knuth 教了一门课，联系教授们，说：“如果你有任何你感兴趣的非数值计算，我有一个满是年轻人的班级，我们可以尝试”。我说：“我想知道由 in-shuffle 和 out-shuffle 生成的群的阶是多少”。怎么做？好吧，你从排好的顺序开始，从 1 到 2 n ，然后你 in-shuffle 一次，接着 out-shuffle 一次，如此这般，持续运作，同时追踪排的顺序。假设它是 4 张牌或 10 张牌。他们开始这样运作并生成数据，而算法跑得非常慢。他们终于做了 52 张牌，在一台大机器上花费了一个小时的 CPU 时间。52 张牌的洗牌群（shuffle group）是什么？这在一台大型机器上，耗费了一个小时的 CPU 时间。但后来，我有了数据，可以猜到模式。而后 Ron Graham、群论学家 Bill Kantor 和我合作，证明了这件事 。这是很难、很难的，是非常困难的群论。它上了纽约时报。我的底细被泄漏了。如果你看了《纽约时报》的头版 ……
刘：是的，我读了这篇文章 。
D：是的，“教授洗牌”。我怎么改变了志趣？我们这个领域的一位佼佼者是 Paul Lévy 。初到斯坦福大学任教时，我经常去图书馆。当时 Lévy 的作品集已经出版，是 6 册法文。现在的我法文很差。当时更糟。我现在有法国妻子和法国小孩，所以法文有进步，但仍然一点也不好。当时我拿起一卷 Paul Lévy 的作品集，随机翻开，页面上出现完美洗牌的方程式。哎呀，Lévy 写了 10 篇关于完美洗牌的论文。他因病卧床一年，有兴趣知道何种排列可能发生。他写了 10 篇论文，魔术界没有人知道这件事，数学界也没有人知道。我知道这件事，我说：“啊，如果 Lévy 可以做，我也可以”。
刘：凡人都可以做。
D：是的，喔，不是。Lévy 是一位伟大的数学家。
刘：是的，有些人可以做。
D：有些人可以做，对。我想我来做应该也可以。这就是我何以会在斯坦福大学开始学习洗牌。这就是我何以回应了 Don Knuth 的征询。Don 还在做研究。他已经 85 岁了，仍然 ⋯ 他让人赞叹。Don Knuth 是一位伟大的作家，伟大的科学家，伟大的数学家，事实上，如果他愿意，他可以做出伟大的数学。他拿的是数学的博士。
刘：有一次，Don Knuth 在斯坦福给了一个演讲，你在听众席中，做了一些评论。我记得他在演讲开始时说：“今天的演讲会很短，因为我要讲的是拉马努金（Ramanujan） 的一篇很短的文章，只有 3 页。” 但是，四十分钟后，他只讲了前半页。
D：每年圣诞节，他都会给“圣诞树讲座”，只给一个演讲。他的演讲何其好，人们至今仍记得 Don Knuth 是谁。听众有 150 人。老实说，他不是一个杰出的演讲者; 30 年来他都没再教书。但他仍然喜欢那些题材。上一次讲的是组合的东西：Baxter 排列 。
刘：我们来谈通俗演讲。你在万圣节给演讲，是关于不可测集。
D：不可测集，是的。
刘：不可测集。你似乎把它和鬼魂联系起来，因为万圣节是关于鬼魂的，对吧？
D：还有怪物。那是怪物出没的时候。我教研究生机率时，不曾教到不可测集。这并不难，但也并非标准的题材，所以，在万圣节，我给了通俗演讲，谈不可测集，因为这是怪物出没的时候。人们来听。在倒数第 2 次，不是我最后一次，有个 12 岁的女孩和父亲要去听我的讲座。我站在门口，说：“你知道，这是数学课”。她看着我的眼睛说：“我想知道什么是不可测集”。上帝保佑你，好姐妹。真是太好了。
刘：这让我觉得你有办法读懂人类的情感。因为怪物是鬼或者其他什么的，对吧？不可测集是其中一员。
D：它是其中一员。如果没有选择公设（axiom of choice），就无法构建一个不可测集。我的意思是，你不能写下一个不可测集。你可以用英文描述解析集合，但不能用英文描述非 Borel 的集合，或是确实不可测的集合。
刘：但对理解可测集来说，这些东西不可或缺，因为我们被教育，觉得一切都是可测的。如果一切都是可测的，那么就没有必要提到“可测”这个词。
D：数学家大都不会对此深思熟虑，但斯坦福大学的 Grigori Mints 24 不同。他在哲学系，但他是数学家，是像 Brouwer 和 Bishop 那样的俄罗斯建构数学家。你可以和他谈谈，他对数学很感兴趣。有一次看他走来，我说：“嗨”，他也说：“嗨”。接着我说：“你还好吧？” 他说：“不”。我问：“怎么了？” 他说：“你怎么可能做数学？基础这么糟糕，怎么可能做数学？”这是发自内心的。我想，哎呀。你知道的？因为我们不关心基础，对吧？对我来说，一切都是有限的。但我曾和一些逻辑学家一起做研究，他们的思考扩及无穷大，但也只是第一个不可数基数（uncountable cardinal）。你可以假设单位区间中的每个集合都是可测的; 这与一些可测基数的存在相矛盾，但不抵触任何人类可以思考的东西。逻辑学家的研究扩及那里，那也是数学。如果你假设了这件事，那么它来自公设，但它无关乎任何你可以触及的东西。不，但如果有人要解决 P-NP ，那就是逻辑学家。那关乎数学语言的一些结构性的东西。每个人都对 Poincaré 猜想有意见，然后 Perelman 解决了。在有人解决 P-NP 之前，大家都只是信口说空话。
刘：你离开哈佛，搬到斯坦福。这是两个不同的社会。
D：是的。
刘：可以评论一下吗？
D：当然。首先，我为什么离开斯坦福，搬到哈佛？起初我在斯坦福大学统计系，经常去数学系参加研讨会。我 1974 年开始在斯坦福大学工作，大约在 1980 年离开。当时数学系对应用数学非常敌视。他们把电脑科学扔出去，又和统计学切割。你们可能认识的钟开莱 。他曾经在研讨会上大喊：“哦，Persi ，你又来假扮数学家了”。少量的点点滴滴就会产生宏大的效应，对吧？还有些老家伙，分析学者，十分多疑。他们对应用数学很不友善，对我尤其如此。我在做数学，我有机会去哈佛数学系，他们真的很想要我去，所以我去了哈佛，史丹佛数学系。他们不想和机率学者交谈。好的。Sam Karlin 对我很好，这有点出乎意料。他很有趣 …… 你认识 Sam 吗？
刘：是的。生物学界的人把他当成自己人。他做生物，而不仅仅是生物学中的某种数学模型。
D：他们何其爱用他的算法去搜索 DNA 序列。他非常受人尊敬。他是个好数学家。他在我背后对我很好，而不像大多数人，只在你面前对你很好。Sam 在我背后对我很好。但我何时才可藉由某个问题打动他？他写了一本关于全正值（total positivity）的书，难以阅读。我有一些问题。我知道它在书中的某个地方。所以，我說：“Sam ，看。你能不能，你知道，我有这个问题。” Sam 说：“喔，这太微不足道了。而且，我已经做出来了。你为什么对此感兴趣？” 我从来没有从他那里得到过有用的答案。但我真的很尊敬他，但他不会坐下来听我讲，和我进行科学对话。但那只是 20 年时光。所以我真的离开了斯坦福，因为数学系很封闭。现在这是一个完全不同的系所。他们真的非常友善，好人。有一些非常好的人。
刘：斯坦福早年在古典分析方面很强，对吧？
D：是的，有 Schiffer , Paul Cohen , Szego 等。我刚到斯坦福时，去听了 Pólya 讲课。这是一个精彩的故事，所以我要讲一下。Pólya 当时 81 岁，有人劝他开个组合数学的课。课堂有 100 人。Pólya 是个迷人的老家伙。他 81 岁了。第一堂课时，他在一个 3 × 3 的正方形上，写了 Abracadabra 这个字。他说：“这里有一个问题要问你”。他说：“在这个正方形上有多少种方法可以写出‘Abracadabra’？” 他说：“有多少人认为方法数介于 50 到 500 之间？” 有些人举起了手。然后，他说：“有多少人认为介于 500 到 5000 之间？”更多的人。 “有多少人认为大于 5000 ？” 然后，他看着观众說：“你认为所有问题最好都用选票多寡来回答吗？” 这真是太精彩了。他的课堂充满这样的事情; 有一些很好的故事是他之前讲过的，但很精彩。当然他早就从数学系退休了。我不会指名道姓，但有人非常非常讨厌我。我在哈佛时，是在数学系，统计系不想和我说话。好吧，我去了。我在那里待了将近 15 年后，遇到了我的妻子，她是法国统计学家。我们必须找到两份工作。哈佛不感兴趣。我们试了一下麻省理工学院，也试过康乃尔。接着我打电话给斯坦福大学，Iain Johnstone 说：“我们会解决这个问题”。他们为我们打造了 2 份工作。这就是我搬回来的原因。我一半在统计系、一半在数学系，我非常满意。她也喜欢她的工作。这就是我搬家的真实故事。我不得不找 2 份工作。我有一个我在乎的妻子。
刘：当时在哈佛是谁要你去的？
D: David Mumford 和 Barry Mazur 35 。
刘：Mumford 当时在做应用数学？
D：是的，没错。Mumford 想学机率，希望有人和他交谈，Barry 是我的朋友兼粉丝。我在哈佛大学统计系获得了博士学位，但我选修过很多数学。对我来说，最温暖的一个时刻，是我毕业时，两位数学家 Barry Mazur 和 Lynn Loomis 带我出去吃午饭，他们说："看，你可以做数学，我们不想失去你。你应该申请博士后。” 我去了斯坦福，但我在哈佛有数学界的朋友：David Mumford 和 Barry Mazur 。当时组合数学已经是大家认可实在的领域。他们还想要一些机率。这是一个很小的系所，哈佛系所。只有 13 名终身职教授。
黄：David 告诉我，他从你那里学会了机率。
D：是的。
黄：我问他：你怎么学的 …… 他明白地说，是向你学的。
D：他的做法是正确的。他旁听大学部课程，接着旁听研究所课程。而后他教大学部课程。真正以我们的方式学习机率的数学家，David Mumford 是我认识的唯一一位。一般人学习机率，就说：这是一个可测量的函数。但他确实学会了真正的机率。我尝试过; 50 年来，我一直试图教数学家机率，但机率太难学了。这就像自学，或者教数学家物理。如果你在大学时没有用心学过，就难了。我们知道 Hilbert 空间是什么，但对量子力学有感觉吗？它完全是另一回事。如果你以那种方式开始，那就太好了。但是，你知道，很少有数学家真正在谈论物理学或机率。我猜想，俄罗斯人在大学时就学会了机率，他们真的学会了。
刘：他们在高中时就已经被拔尖出来了，对吧？
D：对。还有 Kolmogorov 。机率融入了文化、数学文化。但是美国人 ……
刘：要为美国教育体系辩护，我知道可能不是那么容易。有一次，Arnold 一如往常行事，我说：“既然你和我此刻都在美国，美国一定有什么东西是正确的”。美国的人才比较分散，对吧？在俄罗斯，有如此密集的优秀人才。但在美国，你最终进入了数学学术圈，是一个好例子。
D：你可以来自美国的任何地方，但比较困难。1986 年，当我开始在哈佛大学任教时，伟大的 David Kazhdan 38 说：“你能给一个演讲，谈谈什么是随机变量吗？”我说：“David ，你知道，随机变量是一个可测函数。他看着我说，对你来说不止如此，应该另有意涵。他是对的。所以，我做了这样一个演讲，试图解释 …… 但是唯一曾学会的人是 David Mumford 。他很特别。他依旧很特别。
刘：机率很难。
D：是的，但你学会了。
刘：我在斯坦福大学教了几个学季的机率，因为我下定决心，虽然不想成为一个机率学家，但我想了解几率。
D：你教得很好。大家都这么说，我们有去探听。这是一个很好的课程。
刘：我花了很长时间，才了解一个非常困难的东西：Bayesian 。对我来说它非常深奥。你对这个领域有些感觉。
D：是的，謝謝。我想知道，台湾有 Bayesian 吗？我想没有那么多。
黄：我不知道。
D：如果有的话，你应该会知道。我想为数甚少。
黄：是的，你或许知道，我有两篇统计学的论文，可算是众所周知的长篇论文，但我仍要说我不了解统计学。统计学非常不同，就像自然科学。虽然我写了两篇统计学的好论文，但是我对统计学并没有感觉。
D：但 Grenander 是 Bayesian 。Gehman 是 Bayesian 。你知道，布朗大学数学系相当Bayesian 。你逃跑了。
刘：我在 2000 年回到台湾时，开始了这系列专访，标题名为“有朋自远方来”，引用了孔子的话。在他的《论语》的开头，他说：“有朋自远方来，不亦乐乎？” 现在你说你不了解统计学。有一句著名的孔子名言说：“知之为知之，不知为不知，是知也。” , 但很多人甚至不知道自己并不知道。
D：对。那是非常 …… 我不知道那是孔子说的。
刘：知之为知之，不知为不知，是知也。
D：你在学校和那些谚语一起长大。
刘：是的。孔子其实尚可。只是因为要读这些才能通过入学考试，所以我们不喜欢它。但平心而论，他很不错。
D：他很好。你知道我写了一篇关于《易经》的论文吗？你怎么发音？
黄：易经。
D：孔子写过评论。早期对《易经》的注解有些可以追溯到孔子。我想简短说明一下我做了什么; 我的意思是，我如何写成那篇关于《易经》的论文。部分的《易经》需要你生成随机模式。传统上，你有 49 根蓍草，把它们分成 2 组，而后拿掉 4 根，于是蓍草有了相当复杂的随机分布。现今人们改用硬币来做，我证明两者产生的分布是不同的，确实相异。现代人入门的分布与古人不同。要证明它们不同，我需要制作一个模型，用它来随机分割一堆棒子。假设你有 49 根蓍草，像这样把它们分成两组。我想对此做一个数学模型。Laplace 说，“嗯，均匀分布”。但这是不对的。我的意思是，它较常接近 1/2 ，不是均匀的。好吧，二项式分布不是那么糟，因为每根棒子都有一半时间往左或往右移动。我证明的是，你所做的分布假设并不重要，它会被抵销掉。实际上，这是一个 Tauberian 定理，是一个很好的定理。而我之所以会研究《易经》，是因为要了解机率的历史; 它确实是 1650 年从 Pascal 和费马（Fermat）开始的吗？人们赌博 …… 你知道，罗马士兵用骰子赌基督的衣服。但是没有关于《易经》的定量思考记录。《易经》是谁设计出来的？它早就知道一些组合学了。这是一个非常复杂的仪式，但一切是平衡的，实线和虚线出现的可能性相同。有人曾知道一些事情。这很有趣，所以我写了关于《易经》的论文。我在嬉皮的年代长大，当年很多人习惯用易经来决定是否出门喝咖啡。现在我想人们在电脑上做决定，对吧？你必须看看电脑用了什么算法，用它生成了随机模式。我还没有这样看。无论如何，你可以从任何事情中得出机率。这是我的感觉。但有趣的是，人们使用这本书的方式，与传统方式之间的差异，不在小数点后三位。它位于小数点后第一位。这确实很不同，这是有趣的部分。我看到你有一个问题清单。
黄：太严肃的问题。不管它。
刘：不。给我们一些问题。我们需要严肃的事情。请说。
黄：话说现在的线上教学，您如何看待它对数学的影响？
D：有什么影响？这和我们一起在房间里不一样，也和在 Zoom 上见面不同。我不知道原因。它比电话好多了。疫情开始时，我在葡萄牙，在 Zoom 上授课 …… 它不是很好，但它现成可用。现在，大班级，任何大班级，有时一个 500 人的班级，他们都被录影了，学生可以在他们想看的时候观看。但它肯定效果是不同的。在现场课堂上，我呼唤学生。你可以看到他们是否在微笑、阅读报纸、使用手机。你可以查看自己的讲课效果如何。这就像一个演员，在剧院现场演出。你参与其中，你付出了你的精力和注意力，这让教授与众不同，对吧？这不同于看电视。这有点微妙，并不太糟，也许我们会更加善用它。在疫情肆虐期间，这像是天赐之物。我不知道此地是否如此，但我们在所有系所都看到了这情况，尤其是数学系：大一新生不懂高中数学，因为疫情而损失了一两年。他们自学，在 Zoom 上学习。那是不一样的，真的不一样，你可以涵盖的教材料减少了20% 。在聪明学生的课堂，他们不认识二项式公式。我们的 Math 63 ，是要开给超级聪明的学生，但即使是超级聪明的学生，也不会藉由二项式展开 (a+b)^n 的系数，也不知道各种基本的东西。这证明了一些事情：线上教学的成效是不一样的。但我不是教育专家。总之我不喜欢它。而且，我几乎不发送电子邮件。我的妻子是专家; 她被困在葡萄牙，而我在家，我必须弄清楚 Zoom 。我有一个 iPad 、电脑和一部手机。我给她看那些按钮; 她对我尖叫，不要那样做，不要。所以或许我不是回答这个问题的最佳人选。
刘：我有一个研讨会，每周四上午 10 点至下午 1 点，进行 3 小时。我人在斯坦福时也照常如此; 那里是晚上。每周大约 15 到 20 人参加。实际情况是，有些人会进行少许互动，但为数甚少。其他人只是被动地坐在那里听。
D：他们甚至不露面，很多人根本见不到脸。
刘：对，对。事实上，大多数人如此。因此你几乎可以得出一个结论：它的成效不是最为理想。
D：不是。但总比没有好。聊胜于无。我要求他们露面。我说没有人能让你这样做，但我们在一起。你露个脸，让我们知道有其他人在场。你愿意现身吗？”
刘：可以这么说，你在天上人间往返。现在你谈到了《易经》。你似乎一直在学习。你如何学到这么多东西。
D：我能够如此，是因为我喜欢学习新事物。我能够解决问题的原因在此。我总会先问：“怎么可以让你着手解决问题？” 对我来说，如果这意味着我必须学习一些新的数学，那几乎保证了我会希望去学它们。接着我会努力以赴。对我来说，数学也很有社交性。你问我一个问题，与我在互联网等等地方阅读问题，是非常不同的。而后我们可以互相交谈，这也许会让你更快乐，也许会让你对我有好的评价。对我来说，在数学的互动中，人的角色非常重要。而且，如果我和某些人一起工作，他们知道某个东西，我就可以从他们那里学到它，或是学会其它的。这就是我如何学会了几乎所有东西; 不是从书本上，而是从某某人那里。这是我们真正学习事物的方式，对吧？David Freedman 41 教过我。我去哈佛读统计学研究所，当时没有研究所的机率课程。我从来没有上过研究所的机率课。我写了博士论文。我到斯坦福时，David Freedman 在柏克莱，我们开始一起研究一个问题，他说：“不，不，做这个”。他就地教我机率，喝了超过 500 杯咖啡。这是很好的学习方式，对吧？对我来说，这也许是唯一的学习方式。我试过了 …… 我在斯坦福大学有 3 个办公室：一个在数学系，一个在统计学系，一个在 Bytes 咖啡店。我大半时间待在 Bytes 咖啡店，和我的学生一起喝咖啡和涂鸦。很高兴你仍在举办研讨会。
黄：关于统计，我有几个问题：现今，高维数据盛行，大数据是另一个议题，它们是很不同的 ……
D：是啊！但是它们已经发展出来，而且占据优势。
黄：这就是问题所在，有些东西尽管占据优势，但很难总结成观点或归纳成理论。
D：对，我同意。首先，机器学习和大数据已经占据优势，无所不在了，最好的围棋程序 AlphaZero 和最好的西洋棋程序 MuZero 就是例子。机器学习和大数据的理论产生出许多具挑战性的数学问题。我认为有新的数学问题很好，但有些已经超越我的经验范畴，这是下个世代所面临的挑战。如果我的统计学生想要研究机器学习和大数据，我会尝试安排他们和从事相关研究的人合作。这要非常密集地使用电脑，但我不是这类型的人。我还是研究生时，如果不学习如何写程序，就无法获得统计博士的学位，但那是很久以前的事了。机器学习和大数据已经占据优势，虽然我和新时代有点距离，我还是有以下几点要说。生活中还是有很多资料分析涉及小数据，除了常识，还需要古典统计，这些小数据不是从网络上收集的。譬如一个医生要比较两个病人，或者比较某十个病人和另外十个病人，所涉及的统计数据就不是所谓的大数据了。有些人正在进行有趣的工作，我也正在尝试和研究，并且与编写 AlphaZero 和 MuZero 的团队 DeepMind 讨论。DeepMind 编写了最好的围棋程序和最好的象棋游戏程序，之后被 Google 购并。我每周一次和那里的人讨论，如何让电脑学习玩接龙。你知道七堆纸牌的接龙游戏吗？我们这行有个笑话：我们不知道接龙游戏的获胜机率。在拉斯维加斯，你可以花 52 美元买一副牌，你从打出去的牌每张得到 5 美元。这是一场公平的游戏吗？这取决于规则。微软的规则是，你可以分拆游戏，一次发三张牌。改变规则会改变赔率吗？当然，这也关乎「谁在玩纸牌」。它并非定义严谨。那么电脑玩接龙能表现得多好？我正在研究这个问题。我学到的一件事是，毫无疑问地，如果他们真的感兴趣，如果他们让一个由 30 名工程师组成团队来解决这个问题，在 6 个月内，他们会有些可以展示的成果，但是你看看他们推销成果的方式。你可以把你的问题输入到 MuZero 中，这个程序甚至不需要知道规则，立即就开始与自己对玩。荒唐，它根本不行。我有三名工程师，他们试图将纸牌放入 MuZero 。没用的，它没有给出任何明智的东西。有了大数据，或许可以从中得到一些合理东西。当然，我做的研究不是这个，我也不懂大数据，大数据已发展出了自己的语言。如果你是一个只受过古典训练的统计学家，试图阅读现今的机器学习文献，这会是十分困难的。我的意思是，这一切都在它自己的形象中 …… 如果你试图挑选一些问题并试图证明它，可能六个月后，它已经完全过时了，没有人在关注这个议题了，何苦？机器学习正以非常非常快的速度蓬勃发展，它是一个健康的领域，就此存在，我的很多同事都试图把它和数学结合起来。在机器学习，难以理解的一件事是大数据的过度拟合（overfitting）。也就是说，在古典统计学中我们知道：如果你有 100 个参数和 50 个数据点，那么，你可以拟合任何东西，你可以找出一个通过所有数据点的多项式。但不知何故，在机器学习或深度学习上情况不是那么简单。如果你极过度拟合，它反而会变得有用，并做出很好的预测，这是非常难以理解的。人们正试图打造数学和玩具问题（toy problem）去理解此现象。我想这就是我们在做的，对吧？我们制作玩具问题，然后试图去证明某件事。应用者会嘲笑我们，因为我们分析的模型，与他们真正做的事情，相去甚远。彼此之间是有紧张的关系。但我认为它们是很不错的数学问题。在被解决、被定位前，我都会质疑：是否存在它们的位置。让我解释一下。如果你找 30 个计算机科学博士或物理学博士，给他们 3000 万美元，以及他们想要的所有计算和一个特定的问题，我不会质疑他们会做出些成果，而且会是有用、有趣的东西。但是，如果你给另外 30 个人同样的特定问题与资源，他们会做一些完全不同的东西。那么，那里有个主题吗？还是都只是因时制宜（ad hoc）的？在我看来，它非常非常善变，欠缺定论。有一门学科叫做深度学习（deep learning），但我并不了解。我的意思是，我可以把简单的神经网络模型抽象成数学问题，但他们实际做的，是因时制宜的，原创性很高，勇气十足; 他们做的是很艰苦的工作，我不想争论这个，只是到了下周，一切又成了另一回事。那么，你如何能抓住它呢？我们如何证明它？而且，这是非常糟糕的科学，也就是说，首先，它有专利，他们不让你看到程式代码。他们向你展示成功的故事，但不透露失败的故事。
刘：他们就像算命的人。
D：是的，没错。但是，另一方面，也有成功的故事。他们有精彩的成功故事。算命的人当然有时也会这样; 特别是如果他们能看到你，并且能对你的反应做出回应，他们也可以做得很好。但这是一个棘手的领域。幸运的是，我们仍然可以解决一些简单的问题。譬如蒙地卡罗模拟（Monte Carlo simulation），你可以看看人们实际用它来做什么。实际使用量最大的一大套程式是 “Stan”，在美国开发的，来自纽约的 Flatiron Simons 研究所。这是 Hamiltonian 蒙地卡罗，但有各种各样的花里胡哨。如果你看到它们针对问题实际做了什么，就不会用数学来捉摸它。即使你考虑 Metropolis 算法的任何实际应用，一个实际的东西，不是玩具，是实际的，但要尝试证明一些关于它的东西，还是相当艰难。我不知道该怎么做。我在研究。有希望。你对这做了一些研究，我也是。但它仍然是在清理过的模型（cleaned-up model）。现在有了 Ising 模型，很能诠释; 但它们在更复杂的情况下使用它，数学难以捉摸。
刘：我想到一件事。在经历了这一切之后，你的父母对你有什么看法？
D：首先，我的父母早已辞世。我 14 岁离开家后，一生中又见过他们两次，而且是在不太好的状况。我认为他们不知道我在做什么。他们有自己的问题。我在一个多事的家庭长大，很多人住院，而且精神有问题。我想我的父母从来没有真正理解过我 …… 首先，他们在我成为教授之前就去世了，所以 …… 但他们确实知道我上了研究所而且拿到博士学位，但我没有和他们交谈。我们没有对话。这是一个非常不幸福的家庭。我不想与它有任何关系，我也没有。
刘：从东方人的心态来看，我会说，他们的确没有看到你的成功，但你上研究所是 ……
D：是件真实的事。
刘：是的，这必定让他们觉得很好。
D：我希望如此。我的意思是，我不知道。但我真的是一个非常不守纪律的孩子，也许直到上大学，也许快上研究所。有一次，我在加州大学圣地亚哥分校做演讲，教务长是一位女士，是我六年级的同学，她必须介绍演讲者和这个“某某”讲座。她说：“不可能是 Persi Diaconis 。他不可能完成学业，不会是成功人士。”她介绍我时，做了一个标准规格的演讲，而我讲了那个故事。我说：“现在，玛莎，你知道，我记得 …… ”
刘：她说不出话。
D：嗯，我很烂，嗯，我不是一个烂孩子，我只是 …… 我变魔术，在学校不专心，不做作业。他们一直推着我往前走，说：“你是个聪明的孩子。你在这里很无聊。好吧，我们跳级。”所以 …… 无论如何，它有成果。
刘：是的，这是一个美好的故事。对许多人来说，也是非常令人鼓舞的故事。
D：应该是。但是，如果你有个孩子 14 岁时离家出走，你恐怕不会开心。
刘：是的。
D：但未曾有坏事发生在我身上。你认为我是逃家的魔术师，但是 …… .
刘：是的，我担心你将如何吃饭和过活。
D：我没办法，但我有我的导师，而且魔术师社群真的很会照顾人。但我没有任何办法赚钱。
刘：是的。之后你来到这个数学社群，也不错。
D：不错，不错。它比许多其他社群温和许多。我的意思是，看看他们如何照顾 John Nash 。你知道吗？我们甚至容忍了 Finn ，对吧？
刘：大家很高兴我愿意和他共享办公室。Bob Finn 很有趣，不是在通常的意义下，但是很有趣。钟开莱又是如何？
D：他曾經告訴我：“需要被人喜欢的美国病，我没有染上”。
刘：我明白。
黄：他得罪了很多人，即使在机率界。
D：是的。他不遗余力地冒犯人。他喜欢 …… 他是，他 …… 太糟糕了，因为他是一个认真的好人，我的意思是，我本来可以从他身上学到很多东西，但他就是 ……我走在路上一眼看出他是谁，然后就躲开了。如你所知，他几乎全盲。所以，当我看到他走过来的时候，我会走另一条路。但他并不是真的全盲，所以他会说，“Persi，是你吗？你在躲着我吗？” 我继续往前走。你认识他吗？你见过钟开莱吗？
黄：两次，他以前是我师祖 Cramér 的学生。
D：我明白了。我不知道这件事。
黄：实际上，Cramér 没能在瑞典拿到驾驶执照。但 1940 年代，他访问普林斯顿时，钟开莱教他如何开车。这太疯狂了，因为钟开莱的视力很差。
D：很好，非常好，太疯狂了。
黄：Grenander 告诉我那个故事。
D：这是一个很好的故事。这是一个很好的故事。这太疯狂了。钟开莱这样的人教他如何开车，真是太疯狂了，因为开莱实质上是盲人。
黄：Cramér 用美国的驾照换到了瑞典的驾照。
D：啊，那很好。那很好。我有一个关于 Cramér 的精彩故事。当他大约 …… 你见过 Cramér 吗？
黄：没有。
D：好。要知道，瑞典人有两种，有些是很高的战士。他身高 6 英尺 7 英尺。非常非常高大，非常善良、聪明。和他共处时，他会听你说话，会和你对谈。他 80 岁左右时，柏克莱有个研讨室要命名，Neyman 45 请 Cramér 飞来为研讨室揭幕。Cramér 曾担任瑞典大学的校长。他是一位伟大的科学家。每个人都敬重他。他是个严肃的瑞典人，但他是个好人。我被指派招待他，陪他一小时。我是一名助理教授，但他们说，“你能和 Cramér 教授谈谈，带他去喝咖啡或做些什么吗？” 于是我和 Cramér 共处一个小时。他说：“你好”。我说：“我有一个真正的问题要问你”。他说：“是吗？” 我说：“你曾经做过数论，你做出很好的数论结果，然后你不做了。你为什么不再做数论？” 他说，这是一个有趣的问题，我要告诉你。他说：“我喜欢数论。别无其它我要研究的; 我早上、中午和晚上都研究它，那是我毕生的工作。”Cramér 在瑞典时，是 Mittag-Leffler 的助理。有一天，Mittag-Leffler 把他叫进来，说：“你把这个写在我的论文上吗？” 他曾给 Cramér 他的论文草稿，要 Cramér 阅读和修正，“你把这些评论写在我的论文上吗？” Cramér 说：“是的，先生”。他说：“你不会再在瑞典做数学了”。他再也不能做数学; Mittag-Leffler 权势很大，以至于他不得不停止做数学。他转而学习精算科学。这是一个让人惊叹的故事。首先，有人有这种权势，让我很讶异。我说：“这是一个不比寻常的故事。你有写下来？记录下来？他说：“是的，在我的自传里”。我说：“什么自传？” 他说，我为我的孩子写了一本自传。他说：“有 4 份。其中一份副本在瑞典图书馆，你可以找到它，故事就在那里。”他写下它和其他有趣的事情。Mittag-Leffler 如此有权势，真是太离奇了。诡异。
黄：是的。我从 Grenander 那里听闻此事。
D：那个故事？所以我们两个人都知道它。抱歉，我的叙述正确吗？大半是对的。因为他告诉了我。这很感人，因为他是一个很好的数论学家，提出质数的 Cramér 模型，底数是的 Poisson 过程，还有很多很多很好的定理。
黄：我问我的老师：为什么他们能够做很多不同的事情。他告诉我，因为瑞典是个小国，所以他们的知识分子必须有能力去做不同的事情。我记得他曾告诉我，他证明统计学的一些理论时，因为 Cramér 很忙，要求他接管保险的工作，所以他不得不做 ……
D：生命科学，是的。
黄：像是生命表（life table）和汽车保险。
D：我明白。
黄：所以他证明出汽车保险的某些定理，因为汽车保险和人寿保险非常不同。
D：真有意思。他写下来了吗？我不知道那个故事。
黄：他没有写下这样的事情，但他告诉过我们。
D：太精彩了，因为他喜欢抽象数学。我的意思是，他是很精彩的人。Granander 总是深富人性，非常愿意和人说话，我去过布朗大学很多次，因为它离哈佛很近; 我在哈佛教书的时候去的。他建立了一个很好的系所。
黄：他还告诉我们，关于他设计的东西。他不知道他们真的用了那个东西。海军上将要求他设计大炮，因为在瑞典，他们做了很多炮弹。
D：炮弹？他们想测试他们是否有战力？
黄：他们请他设计有适当大小的炮弹，用在军舰上。炮弹的尺寸，要怎么讲呢？
D：对，對。炮弹的内部，对吧？是的，对。
黄：对，炮弹。我应该用通用这个字; 一个尺寸适当的炮弹，在军事上很有用。Grenander 实际计算了一下。他们真的采用了。
D：很好。
黄：另一件事是后勤动员。在战争期间，你必须动员物资，你必须把东西存放在不同的地方。实际上，他为国防部写了一篇关于这个问题的文章。
D：如何以最佳方式储存东西 ……
黄：是的，他尝试做这样的事情。
D：但是可以像 Monge–Ampère 一样，也就是说，你想储存东西，以便它们可以 ……
黄：战争中，从不同的地方，他们可以 ……
D：是的，他们必须最小化运送物资的时间，对，是的，像 Monge–Ampère 一样，就像在给定的边际条件下做度量。
黄：运输问题。
D：就是这样！你已经证明了你是这里最年轻的。
黄：运输问题。
D：对。
黄：有些来自实际应用的数学问题。他们必须解决那些问题。
刘：和你谈话真是畅快。真好。我们可以继续谈到深夜，但我认为我们应该去吃晚饭。但谈到台湾人，相对于你不可思议的人生经验，我担心台湾学生; 他们太专注于书籍和考试。
D：考试之类的事情。是的。
刘：而且，你知道，启瑞这一代; 启瑞比我年轻一点，但不是那么多。
黄：3 岁或 4 岁。
刘：4 岁。对。但年岁的比例正在变成 1 。我知道现在这是一个敏感问题。
D：不，在这个房间里不敏感。
刘：不在这个房间里。但我们这一代，对书本和考试，并不那么专心一意。但现在的年轻人，有点过于关注单一焦点。Persi 是不同的，真好。
D：真是太愉快了。我会在这里是你的错; 没有你，我不会来的。
刘：我们去吃晚饭吧。
D：好，因为和你一样，我现在还有时差。
—— 本文访问者刘太平、黄启瑞任职中央研究院数学研究所 ——
注释：
Louis Nirenberg (1925～2020), 加拿大出生的美籍数学家, 对线性及非线性偏微分方程理论, 及其在复分析、几何中的应用, 做出重大贡献。2015 年获颁 Abel 奖。
Joseph Keller (1923～2016), 美国数学家, 提出几何衍射理论来解决波传播问题。1997 年因他对电磁、光学、声波传播, 以及流体、固体、量子和统计力学的贡献, 获颁 Wolf 奖。
Kenji Fukaya (深谷贤治, 1959～ ), 专访 2009 年刊载於数学传播 33 卷第 3 期。Fukaya 近年来的工作重心是辛几何, 特别是拉格朗日子流形, 以及与这些子流形的交集相关的 Floer homology。Fukaya 发展了一种理论, 将给定的辛流形的拉格朗日子流形视為某种广义范畴的对象, 现称 Fukaya 范畴。
Yakov Eliashberg (1946～ ) 俄国出生的美籍数学家, 专访 2017 年刊载於数学传播 41 卷第 2 期。他的研究兴趣在辛几何、contact 几何、多复变、奇点理论和低维拓扑。他是辛拓扑的创始人之一。2020 年获颁 Wolf 奖。
John Pardon (1989～ ), 任教於普林斯顿大学, 解决了 Gromov 提出的结的形变问题。
Vladimir Arnold (1937～2010), 出生於乌克兰的数学家, 与 Kolmogorov 及 Moser 提出 KAM 理论, 研究可积动力系统的稳定性。因他在动力系统、微分方程和奇点理论方面的工作, 于 2001 年获颁 Wolf 奖。
Mikhael Gromov (1943～), 俄国出生的法籍数学家。藉由创新思想及非传统的数学方法, 获致几何分析及群论的重大突破, 解决了现代几何中诸多复杂问题。2009 年获颁 Abel 奖。
Ronald Graham (1935～2020), 专访 2019 年刊载於数学传播 43 卷第 2 期。美国数学家, 对组合学有重要贡献。他与 Paul Erdos 长期合作。
William "Vilim" Feller (1906～1970), 克罗埃西亚出生的美国数学家, 对马尔可夫链理论有重大贡献, 并以两卷专书闻名於世。
Anthony D'Aristotle 。
Fred Mosteller (1916～2006), 美国统计学家, 著作甚丰, 对美国统计学的发展有重大影响。
Martin Gardner (1914～2010), 1956 至 1981 年在 Scientific American 杂誌撰写数学游戏专栏。
Sheldon Ross,《A First Course in Probability》 及 《Stochastic Processes》.
Donald Knuth (1938- ), 美国数学家暨电脑科学家, 对演算法有卓越研究, 并发明 TeX 排版语言。著作包括多卷《The Art of Computer Programming 》。1974 年获颁 Turing 奖。
Louis Gordon (1946～ ), 任教於南加大, 专精统计学。
Louis Gordon, A Stochastic Approach to the Gamma Function, the American Mathematical Society, Vol. 101, No. 9 (Nov., 1994), pp.858-865
Abramowitz 和 Stegun 是 1964 年数学参考书的非正式名称, 由美国国家标准局 (现為美国国家标准和技术研究院 NIST) 的 Milton Abramowitz 和 Irene Stegun 编辑。
William Kantor (1944～ ), 美国数学家, 任教於 Oregon 大学, 研究有限几何, 以及有限群在电脑科学 (群论演算法)、组合学、编码理论和几何学中的应用。
Persi Diaconis, Ronald Graham and William M. Kantor, The mathematics of perfect Shuffles, Advances in Applied Mathematics, Volume 4, Issue 2, June 1983, Pages 175-196.
Gina Kolata, In Shuffling Cards, Seven is Winning Number, New York Times, Jan. 9, 1990
Paul Lévy (1886～1971), 法国数学家, 早年是泛函分析专家, 对机率论有重大贡献, 特别是 Wiener 过程及 Lévy flight 方面的研究。
Srinivasa Ramanujan (1887～1920), 对解析数论做出了重大贡献, 致力於椭圆函数、连分数和无穷级数的研究。
https://www.youtube.com/watch?v=zg6YRqT4Duo.
Grigori Mints (1939～2014), 生前任教於史丹佛大学哲学系。他的研究重心是证明论、数学推理分析及其在电脑科学等领域的应用。
Grigori Yakovlevich Perelman (1966～ ), 俄罗斯数学家, 证明了 Poincaré 猜想, 而后拒绝接受菲尔兹奖及 100 万美元的 Clay 奖。
钟开莱 (1917～2009), 华裔美籍数学家, 对布朗运动、随机过程及其在几何、分析的应用有卓越贡献, 并有十多本专书著作。
Samuel Karlin (1924～2007), 波兰裔美国数学家, 生前任教於史丹佛大学数学系, 研究赛局理论及其在经济学、人口统计的应用。1989 年, 提出一种估计一个生物体的已知 DNA 序列与另一个生物体的已知 DNA 序列之间相似性的方法, 协助研发方法来对具有统计显著性的 DNA 匹配进行排序。
Menahem Max Schiffer (1911～1997), 德裔美国数学家, 从事复分析、偏微分方程和数学物理研究。
Paul Cohen (1934～2007), 美国数学家, 使用 forcing 的技巧, 证明选择公理和广义连续统假设在集合论中的独立性, 从而获费尔兹奖。他对调和分析也有卓越贡献, 曾提出 idempotent theorem。
Gábor Szego (1895～1985), 匈牙利裔美国数学家, 研究极值问题及 Toeplitz 矩阵。
George Pólya (1887～1985), 匈牙利裔美国数学家, 研究机率、分析、数论、几何、组合数学和数学物理。
是一个著名的咒文, 作為「magic word」在进行魔术表演时使用。
Iain Johnstone (1956～ ), 澳洲出生的统计学家, 任教於史丹佛大学统计系
David Mumford (1937～ ), 出生於英国的美国数学家, 因代数几何方面的工作而获颁 1974 年菲尔兹奖。而后对电脑视觉及模式理论贡献卓著。目前是布朗大学应用数学系名誉教授。
Barry Mazur (1937～ ), 美国数学家, 对数论、算术几何、几何拓扑、微分拓朴、代数几何有重大贡献。2022 年获颁 Chern Medal。
Lynn Harold Loomis (1915～1994), 美国数学家, 研究分析、应用数学及统计。
Andrey Kolmogorov (1903～1987), 俄国数学家, 发展了机率论的公理基础。他利用机率理论研究了行星的运动和喷射发动机的湍流气体。他也是演算法复杂性理论的奠基者。
David Kazhdan (1946～ ) 前苏联及以色列数学家, 对表示理论有重大贡献, 在 Kazhdan - Lusztig 猜想及 Langlands 纲领方面成就斐然。
Ulf Grenander (1923～2016), 瑞典数学家, 生前任教布朗大学。他的早期研究涉及机率论, 随机过程, 时间序列分析和统计理论。近几十年来, 他為计算统计, 图像处理, 模式识别和人工智能做出贡献。
Andrew Gehman (1965～ ), 美国统计学家, 哥伦比亚大学的统计兼政治学教授。
David Freedman (1938～2008), 加州大学柏克莱分校统计教授, 研究 martingale 不等式，Markov 过程等。
John Nash (1928～2015), 美国数学家, 因在赛局论方面的工作而於 1994 年获颁诺贝尔经济学奖。2015 年, 因他对偏微分方程的贡献而获颁 Abel 奖。
Robert Finn (1923～ ), 专访 2003 年刊载於数学传播 27 卷第 2 期。他在 Navier-Stokes 方程式、最小曲面方程式及毛细面研究上贡献卓著。
Harald Cramér (1893～ 1985), 瑞典数学家、精算师和统计学家, 专精数理统计及机率数论。
Jerzy Splawa-Neyman (1894～1981), 俄罗斯出生的美国数学家, 对机率和统计有重要贡献, 包括在气象学和医学中的应用。
Gosta Mittag-Leffler (1846～1927), 瑞典数学家, 研究函数的一般理论。他最著名的工作是单值函数的解析表示。
刘太平等 好玩的数学 2023-06-16 09:20 发表于江西
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