“我们必须知道，我们终将知道”
“我们必须知道，我们终将知道”返朴 2023-04-19 11:18 发表于广东
希尔伯特（David Hilbert ，1862 年 1 月 23 日 — 1943 年 2 月 14 日）是 20 世纪最伟大的数学家之一、被称为“数学世界的亚历山大”。他的工作对数学产生了全面而持久的影响。其研究领域包括不变量理论、变分法、交换代数、代数数论、几何基础、算子谱理论、数学物理和数学的基础等。1900 年，希尔伯特提出了未来数学家要解决的 23 个数学问题，对这些问题的研究深刻影响了之后数学的发展。
Wir müssen wissen, wir werden wissen.
我们必须知道，我们终将知道。
大卫·希尔伯特 (Hilbert David ，1862～1943) ，德国著名数学家。他于 1900 年 8 月 8 日在巴黎第二届国际数学家大会上，提出了新世纪数学家应当努力解决的 23 个数学问题，被认为是 20 世纪数学的制高点，对这些问题的研究有力推动了 20 世纪数学的发展，在世界上产生了深远的影响。希尔伯特领导的数学学派是 19 世纪末 20 世纪初数学界的一面旗帜，希尔伯特被称为“数学界的无冕之王”，他是天才中的天才。
简介
希尔伯特生于东普鲁士哥尼斯堡（前苏联加里宁格勒）附近的韦劳，中学时代他就是一名勤奋好学的学生，对于科学特别是数学表现出浓厚的兴趣，善于灵活和深刻地掌握以至能应用老师讲课的内容。他与 17 岁便拿下数学大奖的著名数学家闵可夫斯基（爱因斯坦的老师）结为好友，同进于哥尼斯堡大学，最终超越了他。1880 年，他不顾父亲让他学法律的意愿，进入哥尼斯堡大学攻读数学，并于 1884 年获得博士学位，后留校取得讲师资格和升任副教授。1893 年他被任命为正教授，1895 年转入哥廷根大学任教授，此后一直在数学之乡哥廷根生活和工作。他于 1930 年退休。在此期间，他成为柏林科学院通讯院士，并曾获得施泰讷奖、罗巴契夫斯基奖和波约伊奖。1930 年获得瑞典科学院的米塔格 - 莱福勒奖，1942 年成为柏林科学院荣誉院士。希尔伯特是一位正直的科学家，第一次世界大战前夕，他拒绝在德国政府为进行欺骗宣传而发表的《告文明世界书》上签字。战争期间，他敢于公开发表文章悼念“敌人的数学家”达布。希特勒上台后，他抵制并上书反对纳粹政府排斥和迫害犹太科学家的政策。由于纳粹政府的反动政策日益加剧，许多科学家被迫移居外国，其中多数流亡到美国，曾经盛极一时的哥廷根学派衰落了，希尔伯特也于 1943 年在孤独中逝世。但由于大量数学家的到来，美国成为了当时的世界数学中心。
希尔伯特是对二十世纪数学有深刻影响的数学家之一，他领导了著名的哥廷根学派，使哥廷根大学成为当时世界数学研究的重要中心，并培养了一批对现代数学发展做出重大贡献的杰出数学家。希尔伯特的数学工作可以划分为几个不同的时期，每个时期他几乎都集中精力研究一类问题。按时间顺序，他的主要研究内容有：不变量理论、代数数域理论、几何基础、积分方程、物理学、一般数学基础，其间穿插的研究课题有：狄利克雷原理和变分法、华林问题、特征值问题、“希尔伯特空间”等。在这些领域中，他都做出了重大的或开创性的贡献。希尔伯特认为，科学在每个时代都有它自己的问题，而这些问题的解决对于科学发展具有深远意义。他指出：“只要一门科学分支能提出大量的问题，它就充满着生命力，而问题缺乏则预示着独立发展的衰亡和终止。”
在 1900 年巴黎国际数学家代表大会上，希尔伯特发表了题为《数学问题》的著名讲演。他根据过去特别是十九世纪数学研究的成果和发展趋势，提出了23个最重要的数学问题。这 23 个问题统称希尔伯特问题，后来成为许多数学家力图攻克的难关，对现代数学的研究和发展产生了深刻的影响，并起了积极的推动作用，希尔伯特问题中有些现已得到圆满解决，有些至今仍未得到解决。他在讲演中所阐发的相信每个数学问题都可以得到解决的信念，对数学工作者是一种巨大的鼓舞。他说：“在我们中间，常常听到这样的呼声：这里有一个数学问题，去找出它的答案！你能通过纯思维找到它，因为在数学中没有不可知。”三十年后，1930 年，在接受哥尼斯堡荣誉市民称号的讲演中，针对一些人信奉的不可知论观点，他再次满怀信心地宣称：“我们必须知道，我们必将知道。”
希尔伯特的《几何基础》（1899）是公理化思想的代表作，书中把欧几里得几何学加以整理，成为建立在一组简单公理基础上的纯粹演绎系统，并开始探讨公理之间的相互关系与研究整个演绎系统的逻辑结构。1904 年，又着手研究数学基础问题，经过多年酝酿，于二十年代初，提出了如何论证数论、集合论或数学分析一致性的方案。他建议从若干形式公理出发将数学形式化为符号语言系统，并从不假定实无穷的有穷观点出发，建立相应的逻辑系统。然后再研究这个形式语言系统的逻辑性质，从而创立了元数学和证明论。希尔伯特的目的是试图对某一形式语言系统的无矛盾性给出绝对的证明，以便克服悖论引起的危机，一劳永逸地消除对数学基础以及数学推理方法可靠性的怀疑。然而，1930 年，年轻的奥地利数理逻辑学家哥德尔（K.Godel ，1906～1978）获得了否定的结果，证明了希尔伯特方案是不可能实现的。但正如哥德尔所说，希尔伯特有关数学基础的方案“仍不失其重要性，并继续引起人们的高度兴趣。” 希尔伯特的著作有《希尔伯特全集》（三卷，其中包括他的著名的《数论报告》）、《几何基础》、《线性积分方程一般理论基础》等，与其他人合著的有《数学物理方法》、《理论逻辑基础》、《直观几何学》、《数学基础》。
希尔伯特问题
在 1900 年巴黎国际数学家代表大会上，希尔伯特发表了题为 《数学问题》的著名讲演。他根据过去特别是十九世纪数学研究的成果和发展趋势，提出了23个最重要的数学问题。这 23 个问题通称希尔伯特问题，后来成为许多数学家力图攻克的难关，对现代数学的研究和发展产生了深刻的影响，并起了积极的推动作用，希尔伯特问题中有些现己得到圆满解决，有些至今仍未解决。他在讲演中所阐发的相信每个数学问题都可以解决的信念，对于数学工作者是一种巨大的鼓舞。
23 个问题详见文末附录。
希尔伯特轶事
● 以希尔伯特命名的数学名词多如牛毛，有些连希尔伯特本人都不知道。比如有一次，希尔伯特问系里的同事“请问什么叫做希尔伯特空间？”
● 1916 年，埃米·诺特这位卓有才华的青年妇女来到哥廷根大学。希尔伯特对她的学识倍加欣赏，立即决定让她留下来当讲师，辅助相对论的研究工作。但当时歧视妇女的现象相当严重，希尔伯特的建议遭到语言学、历史学等教授们的强烈反对。希尔伯特拍案而起，大声疾呼：“先生们，这里是学校，不是澡堂！” 于是因此激怒了他的对手，希尔伯特对此不为所动，毅然决定让诺特以自己的名义代课。
● 他的一位学生买了一辆车，后来不幸死于一场车祸。在葬礼上，死者家属请希尔伯特老师说几句话，于是他说：“小克劳斯是我的学生当中最优秀的，他生前在数学方面，具有非凡的天分。他对数学问题的涉及非常广泛，诸如……” 他暂停了一会儿，然后说：“考虑单位区间上一组可微函数，然后取它们的闭包……”
● 1880 年秋天，18 岁的希尔伯特进人家乡的哥尼斯堡大学，他不顾当法官的父亲希望他学习法律的愿望，毫不犹豫地进了哲学系学习数学（当时的大学，数学还设在哲学系内）。希尔伯特发现当时的大学生活要多自由有多自由。意想不到的自由，使许多年轻人把大学第一年的宝贵时光都花费在学生互助会的传统活动饮酒和斗剑上，然而对希尔伯特来说，大学生活的更加迷人之处却在于他终于能自由地把全部精力给予数学了。
● 这个定理很好，请问是谁发明的？某生答道：是您。
附：希尔伯特的 23 个问题
希尔伯特的 23 个问题分属四大块：第 1 到第 6 问题是数学基础问题；第 7 到第 12 问题是数论问题；第 13 到第 18 问题属于代数和几何问题；第 19 到第 23 问题属于数学分析。
（1）康托的连续统基数问题。
1874 年，康托猜测在可数集基数和实数集基数之间没有别的基数，即著名的连续统假设。1938 年，侨居美国的奥地利数理逻辑学家哥德尔证明连续统假设与ZF集合论公理系统的无矛盾性。1963 年，美国数学家科思证明连续统假设与ZF公理彼此独立。因而，连续统假设不能用 ZF 公理加以证明。在这个意义下，问题已获解决。
（2）算术公理系统的无矛盾性。
欧氏几何的无矛盾性可以归结为算术公理的无矛盾性。希尔伯特曾提出用形式主义计划的证明论方法加以证明，哥德尔 1931 年发表不完备性定理作出否定。根茨 1936 年使用超限归纳法证明了算术公理系统的无矛盾性。
（3）只根据合同公理证明等底等高的两个四面体有相等之体积是不可能的。
问题的意思是：存在两个等高等底的四面体，它们不可能分解为有限个小四面体，使这两组四面体彼此全等。德思在 1900 年已解决。
（4）两点间以直线为距离最短线问题。
此问题提的一般。满足此性质的几何很多，因而需要加以某些限制条件。1973 年，苏联数学家波格列洛夫宣布，在对称距离情况下，问题获解决。
（5）拓扑学成为李群的条件（拓扑群）。
这一个问题简称连续群的解析性，即是否每一个局部欧氏群都一定是李群。1952 年，由格里森、蒙哥马利、齐宾共同解决。1953 年，日本的山迈英彦已得到完全肯定的结果。
（6）对数学起重要作用的物理学的公理化。
1933 年，苏联数学家柯尔莫哥洛夫将概率论公理化。后来，在量子力学、量子场论方面取得成功。但对物理学各个分支能否全盘公理化，很多人有怀疑。
（7）某些数的超越性的证明。
需证：如果 α 是代数数，β 是无理数的代数数，那么 α^β 一定是超越数或至少是无理数（例如，2^√2 和 exp(π) ）。苏联的盖尔封特 1929 年、德国的施奈德及西格尔 1935 年分别独立地证明了其正确性。但超越数理论还远未完成。目前，确定所给的数是否超越数，尚无统一的方法。
（8）素数分布问题，尤其对黎曼猜想、哥德巴赫猜想和孪生素数问题。
素数是一个很古老的研究领域。希尔伯特在此提到黎曼猜想、哥德巴赫猜想以及孪生素数问题。黎曼猜想至今未解决。哥德巴赫猜想和孪生素数问题目前也未获最终解决，其最佳结果分别属于中国数学家陈景润和张益唐。
（9）一般互反律在任意数域中的证明。
1921 年由日本的高木贞治，1927 年由德国的阿廷各自给以基本解决。而类域理论至今还在发展之中。
（10）能否通过有限步骤来判定不定方程是否存在有理整数解？
求出一个整数系数方程的整数根，称为丢番图（约 210-290 ，古希腊数学家）方程可解。1950 年前后，美国数学家戴维斯、普特南、罗宾逊等取得关键性突破。1970 年，巴克尔、费罗斯对含两个未知数的方程取得肯定结论。1970 年。苏联数学家马蒂塞维奇最终证明：在一般情况下，答案是否定的。虽然得出了否定的结果，却产生了一系列很有价值的副产品，其中不少和计算机科学有密切联系。
（11）一般代数数域内的二次型论。
德国数学家哈塞和西格尔在 20 年代获重要结果。60 年代，法国数学家魏依取得了新进展。
（12）类域的构成问题。
即将阿贝尔域上的克罗内克定理推广到任意的代数有理域上去。此问题仅有一些零星结果，离彻底解决还很远。
（13）一般七次代数方程以二变量连续函数之组合求解的不可能性。
七次方程 x^7+ax^3+bx^2+cx+1=0 的根依赖于 3 个参数 a、b、c ；x=x(a,b,c）。这一函数能否用两变量函数表示出来？此问题已接近解决。1957 年，苏联数学家阿诺尔德证明了任一在 上连续的实函数 f(x1，x2，x3）可写成形式 ∑(i=1,9) hi（ξi(x1,x2）,x3），这里 hi 和 ξi 为连续实函数。柯尔莫哥洛夫证明 f(x1，x2，x3）可写成形式∑(i=1,7)hi（ξi1(x1）+ξi2(x2）+ξi3(x3）) 这里 hi 和 ξi 为连续实函数，ξij 的选取可与 f 完全无关。1964 年，维土斯金（Vituskin）推广到连续可微情形，对解析函数情形则未解决。
（14）某些完备函数系的有限的证明。
即域 K 上的以 x1,x2，…，xn 为自变量的多项式 fi（i=1，…，m），R 为 K 上的有理函数 F（X1，…，Xm）构成的环，并且 F（f1，…，fm）∈ K 试问 R 是否可由有限个元素 F1，…，FN 的多项式生成？这个与代数不变量问题有关的问题，日本数学家永田雅宜于 1959 年用漂亮的反例给出了否定的解决。
（15）建立代数几何学的基础。
荷兰数学家范德瓦尔登 1938 年至 1940 年，魏依 1950 年已解决。
注一舒伯特计数演算的严格基础。
一个典型的问题是：在三维空间中有四条直线，问有几条直线能和这四条直线都相交？舒伯特给出了一个直观的解法。希尔伯特要求将问题一般化，并给以严格基础。现在已有了一些可计算的方法，它和代数几何学有密切的关系。但严格的基础至今仍未建立。
（16）代数曲线和曲面的拓扑研究。
此问题前半部涉及代数曲线含有闭的分枝曲线的最大数目。后半部要求讨论备 dx/dy=Y/X 的极限环的最多个数 N（n）和相对位置，其中 X、Y 是 x、y 的 n 次多项式。对 n=2（即二次系统）的情况，1934 年福罗献尔得到 N（2）≥1 ；1952 年鲍廷得到 N（2）≥3 ；1955 年苏联的波德洛夫斯基宣布 N（2）≤3 ，这个曾震动一时的结果，由于其中的若干引理被否定而成疑问。关于相对位置，中国数学家董金柱、叶彦谦 1957 年证明了（E2）不超过两串。1957 年，中国数学家秦元勋和蒲富金具体给出了 n=2 的方程具有至少 3 个成串极限环的实例。1978 年，中国的史松龄在秦元勋、华罗庚的指导下，与王明淑分别举出至少有 4 个极限环的具体例子。1983 年，秦元勋进一步证明了二次系统最多有 4 个极限环，并且是（1，3）结构，从而最终地解决了二次微分方程的解的结构问题，并为研究希尔伯特第（16）问题提供了新的途径。
（17）半正定形式的平方和表示。
实系数有理函数 f(x1，…，xn）对任意数组（x1，…，xn）都恒大于或等于 0 ，确定 f 是否都能写成有理函数的平方和？1927 年阿廷已肯定地解决。
（18）用全等多面体构造空间。
德国数学家比贝尔巴赫 1910 年，莱因哈特 1928 年作出部分解决。
（19）正则变分问题的解是否总是解析函数？
德国数学家伯恩斯坦（1929）和苏联数学家彼德罗夫斯基（1939）已解决。
（20）研究一般边值问题。
此问题进展迅速，已成为一个很大的数学分支，目前还在继读发展。
（21）具有给定奇点和单值群的 Fuchs 类的线性微分方程解的存在性证明。
此问题属线性常微分方程的大范围理论。希尔伯特本人于 1905 年、勒尔于 1957 年分别得出重要结果。1970 年法国数学家德利涅作出了出色贡献。
（22）用自守函数将解析函数单值化。
此问题涉及艰深的黎曼曲面理论，1907 年克伯对一个变量情形已解决而使问题的研究获重要突破。其它方面尚未解决。
（23）发展变分学方法的研究。
这不是一个明确的数学问题。20 世纪变分法有了很大发展。
本文内容转载自“imath”公众号，文章的图片来源 ：“我们必须知道，我们终将知道” |希尔伯特逝世 80 周年 (qq.com)。
不少数学专业的学生应该熟悉希尔伯特与柯朗合著的下两本“数学物理方法”的专著：
Courant, R., and D. Hilbert, 1953: Methods of Mathematical Physics. Vol. 1. Wiley-Interscience, New York, 560 pp.
Courant, R., and D. Hilbert, 1962: Methods of Mathematical Physics. Vol. 2. Wiley-Interscience, New York, 831 pp.
如上所见，英文版“数学物理方法”的第一、第二卷分别于1953、1962年出版。专著的原德文版第一、第二卷则分别在德国于1924、1937年出版。但1937年时，德国纳粹党的法西斯专制统治已经非常黑暗，希尔伯特新书的第二版出版之后随即就被德国文化部所禁了。随后在美国于1943年重新印刷出版了第二卷的德文版。1962年的第二卷英文版则是在原德文版的基础上作了很大的改写。
中文第二卷的翻译版最初于1980年左右出版。记得当时是“数理方法”课的参考书之一。但印刷数很少，根本无法在书店买到。数学老师说这第二卷的中文翻译版在中国也是“千呼万唤始出来”，其实翻译得不怎么样。大家以后有条件的话，还是应该去读英文原版书。
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