N.H.Abel ：向大师学数学
N.H.Abel ：向大师学数学在我看来，一个人要在数学上取得进步，他就应该向大师学习，而不是向大师的学生学习。
——N.H.Abel （1802-1829）
转载自微信公众号：好玩的数学
作者| Harold M.Edwards
来源|《数学译林》
翻译| 黄险峰
校正| 袁向东
向大师学习这种思想现在和 Abel 时代一样重要，最优秀的数学家知道这一点并始终这样去做，不幸的是，学数学的学生常常在他们学业的前几年使用教科书（有些可能是大师写的，但往往不是）和那种自足的、很少或根本没有所论主题的原始参考文献的讲义、教程。学生要靠自己去发现 Abel 的忠告中的智慧。可以说，他们正在这方面消磨掉好时光。
“向大师学习”一语可作两种解释，有些数学专业的存在不过五十年。在这些专业中“向大师学习”应理解为学习那些作出最重要贡献的研究者的著作，这是其正值得去做的事。这些领域里最杰出的人才在这样做，但即使在这些专业方向上，学生亦常常不去学习原始文献。然而，我心目中想的是把数学作为一个统一体的更开明的观点，所以至少应追溯到 Newton 和 Leibniz 。几百年来出现的大师包括 Euler 、Gauss 、Abel 本人、Galois 、Riemann 、Poincaré 、Hilbert 等。
什么是第一流数学家的观念也许会带有我的偏见，但我深信大多数第一流的数学家对数学持有把数学视为统一体的开明的看法，并确实在向大师们学习。关于这一点，Carl Ludwig Siegel 记述法兰克福数学讨论班（Frankfurt Mathematics Seminar）的历史的文章提供了一个突出的例子，他在文中描述了二十年代和三十年代初期法兰克福的一个由师生共同参加的数学史讨论班的情况。
“从各个时期的原著中研究较重要的数学发现已成为讨论班的惯例，每个参加者应事先读完他负责的那部分内容，并在大家阅读后主持讨论。用这种方法，我们研究了古代数学家，并用了许多个学期详细研究 Euclid 和 Archimede ，我们还用了几个学期研究从中世纪到十七世纪中期代数学与几何学的发展，在此过程中，我们完全熟悉了 Leonardo Pisano 、 Vieta 、Cardano 、Descartes 、Desargues 的著作。我们一起对十七世纪微积分赖以产生的思想进行了研究，结果大有收益。我们特别讨论了 Kepler 、Huygens 、Stevin 、Fermat 、Gregory 及 Barrow 的发现”。
对我们中的大多数人而言，去读 Leonardo Pisano（又名 Fibonacci 1180?-1250?）的书的想法，似乎把向大师学习的事搞得太过分了。但正如 Siegel 所说，这个数学史讨论班的活动的持久价值在于，它为他提供了“一生中最幸福的回忆”，而且远不止于此。
指导这个历史班的核心人物 Max Dehn 是二十世纪最杰出的数学家之一，他为组合群论、组合拓扑及几何基础作出了十分重要的贡献。Dehn 的著作的特色是富有想象力，并且有丰富的思想，了解他的人能看出他的这些优良品质与他对数学史的浓厚兴趣有直接联系。他的讨论班专门研究十八世纪以前各个时代的数学——也许那些时代的数学同样属于从事现代数学各分支研究的数学家，因而几何学家、代数学家、分析学家、拓扑学家等都可以来参加讨论——但对 Dehn 和他的同事们来说，这种类型的研究的价值、方法和途径，都远远超越了十八世纪。
也许，将历史知识和数学研究结合的最了不起的例子莫过于 Siegel 在研究 ζ 函数（Zeta function）理论时的一个发现了，即现在所称的 Riemann-Siegel 公式。1930 年左右，Siegel 从事 Riemean 有关解析数论著作的研究。在 Riemann 去世那年（1866 年）写的论文的散页中，断断续续地记着一些公式，这些论文现藏于德国格丁根州档案馆和格丁根大学图书馆内。由于人们对 ζ 函数和 Riemann 关于其零点（不是在负偶数点）均有等于 1/2 的实部的猜想有巨大兴趣，所以对 Riemann 可能已经得到但未发表过的关于 ζ 函数的信息特别好奇。在 Siegel 之前，有一些人试图去理解 Riemann 的那些毫无联系的注记；但完成这项工作需要这样的人，他应即是极老练的，技巧纯熟的数学家，同时又是一个有耐心和奉献精神的历史学家。这种人才能去研究像 Riemann 这样一位人物留下的原始材料。Siegel 的努力使他获得了惊人的发现：Riemann 已得到关于 ζ 函数的两个公式，在他死后七十五年（1932 年），这两个公式中的每一个都对 ζ 函数理论的发展有重大贡献。完全可以相信，要不是 Siegel ，这些公式至今还不会为人所知。
二十世纪另一位重要的数学家 André Weil亦自称为大师著作的读者。
“作为高等师范学校一名年轻的学生，我研究 Riemann ，继而研究 Fermat ，并很早就接受了这种劝告——细心注意历史上的伟大数学家，至少可以比读当今时兴人物的作品得到更多的灵感。”
1926 年，Weil 访问了法兰克福的由 Dehn 主持的讨论班，从此便“尽可能多”地去那里访问了。他写道，在那些讨论班的讨论会上，“我感到我在参加一个无可比拟的动脑筋的节目，”
并且由于在这样的场合得到了益处，在 Bourbaki 开始创作的时候，我自然就建议对那些很易陷入过分教条化的陈述上历史注释，以便给它们以恰当的地位。有一段时间，这方面的工作主要落在我的身上，我向 Bourbaki 提出了这项工作的初步计划，经过微小的修改便获批准，这与 Bourbaki 对从共合作者那里得到的那些专门教材的反应完全相反……，渐渐地，Bourbaki 的其他合作者亦尝到了这种工作的甜头，而我自己则变得只是偶然地去搞一搞，……”
通过 Weil , Bourbaki 的合作者们（也许，甚至是 Bourbaki 本人）都成了大师著作的读者。
有几点理由可以说明为何最优秀的数学家被吸引去读经典著作，首先，他们似乎是天生的善于进行综合的人，数学的真谛在于理解看起来不同的概念间的逻辑联系。最成功的数学家都是涉足面最广、洞察相似之物和将概念联系起来的能力最强的数学家。历史在这样的研究活动中的作用是明显的。对某些相似性的认识往往要经历几代人，而且通过对普遍的历史事实的回顾，往往容易看出各种联系。进步不是出自于新的概念，而是由于认识到可以把旧概念用于新的情况，这样的事实比我们所愿想象的要多得多。
我的一个同事赞同最优秀的数学家去研究历史，他还提出了另一点理由，他说“优秀的数学家研究好的问题，而好问题都有其历史”，他也许还应说，常常是历史使其成为好的问题，因为历史展示出了它与其它问题的解的联系以及它在数学内外的应用。
当然，一般学习历史所可能获得的好处同样适用于数学，历史是人类积累起来的经验，没有一个明智的人会忽视它。历史指明了我们当前所处的状态，它又是最好的信息来源，帮助我们判断什么是可能的、什么是不可能的。只有了解了复杂而神秘的万千世界是怎样发展而来的，才易于弄明白它多姿的容貌。
然而，历史在数学研究中的地位显得更为重要，数学家们谈论数学的“客体”并喜欢想象有一客观真理与他们所证明的定理相符合，但从未有人看到过这样的“客体”，归根到底，人们了解它们的唯一途径是阅读他人的著作，为此，明智的做法自然应去读最聪慧的作者——大师们的著作，从这一点看，数学和哲学类似，它与其历史在本质上是不可分割的。数学的主要概念、所研究的问题以及理论的形成方式都不可避免地与第一次提出它们的研究者的名字和著作相联系。
最后，还有一个吸引最优秀的数学家注重历史的简单理由，也许它可以代替所有其它理由，那就是历史太有趣了，第一流的数学家自然对数学有浓厚的兴趣，所以对过去时代的伟大的数学创造感兴趣，它们比目前数学中的大部份内容更出色。而且这种兴趣所产生的刺激不仅限于某一个方向，许多时候，当自己对某项工作的兴趣减弱时，通过阅读经典著作又会获得新的灵感。
由上面这些理由可以看出，向大师学习是数学生活的一个重要部分，因而也应是数学教育的一个重要部分。不幸的是，实际情形几乎不是这样。无疑，其主要原因在于缺乏时间，美国的研究生在很短的时间里需要学习的东西太多，而且很快又必须开始写论文、搞研究，根本无暇顾及经典。在这样的情势下，给学生以指导，向他们解释不可能一下子什么都学到，让他们知道阅读经典的价值并帮助他们获得阅读经典所必须的技能，这一切成了导师的义不容辞的职责。
阅读数学经典著作不像说起来那么容易，术语、写作风格和数学环境的变化，使数学（被陌路人戏谑地当作一堆永远不变的事实）成了这样的领域，一、二十年前的著作在年轻的读者眼里常常变得很古老了。读者必须对较早的数学著作中的数学加以理解——它们的作者视为读者应掌握的基本概念的各种假设、已知的定理、所考虑的问题、所惯用的证明方法等等，要使学生获得这样的背景知识是不容易的。唯一的办法是耐心的学习，数学教程一般不能对现代数学的每一领域都给以充分的注意，以使这一领域内的专家获得阅读经典所需的所有信息。找一个这样的论文指导老师是大有益处的：他很好地掌握了那一领域的经典文献并能指导学生阅读。不幸的是，即使熟悉经典的导师亦常常看不到为学生打开经典著作大门的重要性；而更不幸的是，许多导师对经典著作也只是一知半解。
为向大师学习，学生应学习的另一种技能是语言知识，在第二次世界大战前，很少有大师用英文写作；如果美国学生要学习这些著作，他们就必须学习外语。教育中的这一重要部分（不仅在阅读经典时有用，在数学研究的各个方面亦是有用的）在今天日渐被忽视了，这给我们的学生带来了持久的不利因素。我认识一些获得博士学位的年轻数学家，他们的专业是数论，而这个领域内 80% 的经典文献是德文的，但他们到成年还不具备借助字典阅读德文的数学文献的能力。他们希望经典文献能被翻译过来，但这是不可能的，因为只有很少的人既有语言方面的能力又有数学方面的能力能作透彻的翻译，他们也不可能为了少数潜在的读者的方便而花费他们的时间与精力。
数学的健康与充满活力的连续发展依赖于数学界的领导人物，他们多才多艺并涉足于数学中的多个领域，因而能够阻止那样一种趋势的发展：由于人们如此强烈地专注于各自的专门方向，而这些方向又是如此之多，以致使数学变得支离破碎。在今天，这样的领导人是很多的，我们把近几年获得的几项漂亮的综合性研究成果归功于他们，这些研究把不同分支的技巧揉合在一起，因而使这些技巧更趋完善并增强了它们的应用能力。现在正在受教育的一代，如果他们注意Abel的忠告并向大师学习，从他们中间可能产生出更多的这样的领导人。
注释：
1、原题：Read the Mastersy 译自：Lyan Arihur Stera 编的《Mathematics Tomorrow》, New York,1981,105—110.
2、本文作者 H.M.Edwards 为纽约大学数学教授，他于 1956 年在威斯康辛大学获学士学位，1957 年在哥伦比亚大学获硕士学位，1961 年在哈佛大学获博士学位，并执教于哈佛大学和哥伦比亚大学，他的主要兴趣在于数论和数学史，他最近的两本书（《黎曼函数》（1974）（Riemann Zeta Function）和《费尔马大定理》（1977）（Fermat's Last Theorem））从历史发展的角度阐述数论中的课题，并因此获得美国数学会 1980 年的 Steele 奖，目前他正着手他的第三本关于数论历史的书。——原注。
参考文献
C.L.Siegel, Zur Geschichte des Frankfurter Mathematischen Seminars, Frankfurter Universitatsreden1964, Heft 36, aiso in Gesammelte Abhandiungen, V. 3. pp 462-474. Authorigzed English transIa-tion in The Mathematical Intelligencer, 1:4 （1979）, 223—230.
A. Weil, Andre' Weil, Oeuvres scientifiques （Collected Papers）. Sprirger-Verlag, New York,1979.
数学经纬网 2023-04-11 21:31 发表于北京
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