我在莫斯科国立大学的青春岁月 —— 献给我的导师斯迪平教授
我在莫斯科国立大学的青春岁月 —— 献给我的导师斯迪平教授作者 | 叶向东
来源 |《数学文化》2023 年第 14 卷第 1 期
我在莫斯科大学求学时的导师安纳托利·米哈伊洛维奇·斯迪平（Anatolii Mikhailovich Stepin）教授于 2020 年 11 月 7 日与世长辞，享年 80 周岁。他永远离开了他深爱的土地、家人、终身从事的动力系统研究领域、同事和他时时牵挂的学生。当我的师兄雷日科夫（Valerii Ryzhikov）告诉我这一噩耗时，我的眼泪忍不住夺眶而出，心情久久不能平静。他的身体一直很强壮，在他去世前的一个月我们还在通信，想不到竟这么快突然离世。两年后的今天，当我写下下面的文字时，眼泪还时常在眼眶打转，他的音容笑貌似乎就在眼前，在莫斯科度过的四年时光也一幕幕地呈现在眼前。
1. 初到莫斯科
1986 年 10 月 12 日是我今生永远难忘的日子，在经历了漫长出国手续的办理与简短的培训后，我乘坐中国民航飞机从北京抵达前苏联的首都莫斯科。这是我第一次乘坐飞机，紧张和期盼伴随着整个航程。因为担心行李超重，我将为莫斯科的严冬准备的大衣和皮帽等穿戴在身，热得满头大汗。
1985 年，在经历了漫长的中苏关系紧张后，中苏两国恢复了联系与交流，与我同行的便是经过各学校推荐后挑选的去苏联留学的 10 名同学（分别来自中国科学技术大学、清华大学和北京工业大学）和其他短期访问的学者。这 10 名同学在国内刚刚获得硕士学位或硕士在读，是首批（恢复关系后）选派到苏联攻读科学候补博士（PhD）学位的学生，学制为四年，其中第一年是学习俄语。在此之前，学习俄语专业的大学生以及短期访问的俄语学者已经先期到达。
10 月的莫斯科已经是寒气逼人，我们到达的当日是那年的第三场大雪。大使馆教育处的领导委派先期到达的同学到机场来接我们，安排住宿和办理相关手续。我住进了莫斯科大学主楼 B 区 1547 房间，在那里我度过了四年的留学时光。
莫斯科大学的主楼位于列宁山上（当时的名称，现称为麻雀山），从我的房间可以俯瞰蜿蜒而过的莫斯科河和 1980 年莫斯科夏季奥运会的主场馆。主楼有一万多个房间，分成若干个区域，里面有食堂、商店、邮局、游泳池、电影院、图书馆、研究生宿舍等设施，其中A区有学校领导办公室、多个院系的办公室和教室。1547 里面有两个独立的房间，供两位入住者使用，并有共用的卫生间和淋浴间。房间虽然不大，但这样的住宿条件我已十分的满意，因为那时中国国内的研究生不可能有这样的待遇。我的室友是来自乌兹别克斯坦的数学系研究生，为人友善，对我俄语的进步有很大的帮助，他所做的美食“手抓饭”至今让我难忘。
2. 我的导师
第一次见到斯迪平教授是在我到达后不久。那时他 46 岁，风华正茂，意气风发。他给我的第一印象是身材高大，声音洪亮，留着俄罗斯男人特有的络腮胡子。在我去莫斯科之前，我已经在中国科学技术大学（以下简称为科大）数学系用四年时间完成了本科阶段的学习，又在张景中、杨路与熊金城老师的指导下用两年多的时间于 1985 年底完成了硕士阶段的学习，并留在科大数学系工作，担任讲师。那时的中国刚刚改革开放不久，与国外的交流很少，文献资料匮乏，国外学者发表的论文几年后才能看到影印件。受学术交流与文献资料的限制，我对所学的动力系统专业的了解还十分浅显，对于国际上的研究动态更是知之甚少。因此填表选择留学导师时我十分茫然，系里的领导便让我去咨询苏淳老师的意见。苏淳老师的专业是概率理论，精通俄语，对于前苏联的数学家有较多的了解，他建议我选择雅科夫·西奈（Yakov Sinai）为导师。因此，当我见到斯迪平教授并得知他为我的导师时，我便有少许的失落。很久以后我才知道，事实上斯迪平教授的导师是费利克斯·贝雷辛（Felix Berezin）与西奈教授。具体是什么原因系里指定斯迪平为我的导师，就不得而知了。
莫斯科国立大学创办于 1755 年 1 月 25 日，设立了若干个系，当时数学和力学共同办学称为力学数学系。系下面分为若干教研室，相当于现在国内学院下面的系。新中国成立后，国内大学的设置学习了前苏联的模式，当时科大数学系也是在系下面设置了若干教研室。斯迪平教授工作的地点为力学数学系的函数论和泛函分析教研室，因此我便成了此教研室的研究生。函数论和泛函分析教研室的前身是 1933 年创立的分析和函数理论教研室，由卢津（Nikolai Luzin）的学生拉夫连季耶夫（Mikhail Lavrentiev，曾任苏联科学院副院长）任主任。在经历了若干分解与合并之后，1943 年成立了函数论和泛函分析教研室，名称沿用至今。现在的主任是俄罗斯科学院院士卡申（Boris Kashin）。动力系统与遍历理论的研究在前苏联有悠久的传统，当时世界上相关专业一流的学者有许多在前苏联工作： 柯尔莫哥洛夫、罗克林（Vladimir Rokhlin）、西奈、阿诺索夫（Dmitri Anosov）、阿诺德、欧瑟勒兹（Valery Oseledets）、斯迪平、卡托克（Anatole Katok）、佩辛（Yakov Pesin）等等，可谓是群星璀璨。1986 年，前苏联正在经历改革开放的阵痛，长期的计划经济和大国军事竞争使其经济濒临崩溃，大学教授的工资微薄。因此，有些人选择离开祖国到国外发展，例如那时卡托克就已经离开莫斯科到美国发展了。之后，佩辛、阿诺德、西奈等也相继离开或两边兼职，柯尔莫哥洛夫于 1987 年去世。阿诺索夫和斯迪平则一直留在莫斯科，并在力学数学系创立了新的教研室——动力系统，支撑着俄罗斯动力系统的发展。令人倍感遗憾的是，随着他们的相继离世和西奈等人年事已高，前苏联动力系统曾经的辉煌如今已暗淡了许多。好在东方不亮西方亮，俄罗斯的数学在另外几个方向上仍然在世界上独树一帜，人才辈出。
柯尔莫哥洛夫是二十世纪最伟大的数学家之一。西奈是柯尔莫哥洛夫的弟子，在我留学前期柯尔莫哥洛夫年岁已高，西奈自然成为前苏联动力系统的领军人物。我曾经参加过几次他的讨论班，每次教室都爆满。现在想想，如果我成为他的研究生，很大概率他没有太多时间来指导我的学业。命运造化让我成为斯迪平教授的学生，是我的幸运，他对于我学业上的关心，生活上无微不至的照顾，让我顺利地完成了学业，并渐渐成长为一名数学工作者。
3. 学习俄语
我是于 1979 年进入科大数学系学习的，为恢复高考后的第三届学生。当年，因为考生的英文基础差，教育部规定英文考试成绩的 10% 计入高考总分。高中时，我就读的乡镇中学英文教师缺乏，加上自己不重视，英语对我高考成绩的贡献少于 2 分，因此进入科大后被编入慢班就不足为奇了。好在我在大学期间花了不少时间和精力学习英语，当时流行的《英语 900 句》时常在手，也常听国外的一些广播，大学毕业时我英文的听力和写作有了很大的提高，也可以用英语进行一些日常交流。那时，科大对于二外的要求不高，我自己随意听了几节俄语和德语的课程，只会几个你好之类的单词。
可以想象，当时的我面对俄语环境是多么的无助。好在教育部与莫斯科大学事先已进行了沟通，安排我们用一年的时间学习俄语。莫斯科大学对于我们这些没有俄语基础的学生有一套成熟的教学方式，采用的是小班教学，与我同班的有三位同学，一位是同样来自科大的耿纯同学和两位来自阿拉伯国家的同学。
学习俄语是一个艰苦的过程。按照安排，我们每周 6 天，每天早上 9 点至下午 5 点上课，中午有简短的休息，由两位 40 多岁的女老师轮流授课。两位语言老师中一位是主讲老师，她是典型的俄罗斯中年女性，人很和善，但要求很严；另一位老师曾在法国等地教授过俄语，衣着打扮和行为方式有十分明显的西方特点。她们对我们的俄语是零基础反而十分满意，“认真”地说一年后你们会讲一口莫斯科口音的纯正俄语。
我们在国内学习外语时，一般是先学语法，然后再学句子和文章。我学习俄语的过程正好相反，前三个月老师只教句子和短文（我们四人都有英文基础，不懂的地方用英文解释），然后让我们在日常生活中不断地重复与使用。例如，我们明明知道图书馆的位置，还是有机会就问“Гдебиблиотека？”（图书馆在哪里？）
三个月之后，我们已经可以与人用俄语进行简单的交流，这时老师才开始教我们语法。正是这样以交际为目的的教学方法使我们很快就能开口说俄语，我也敢第一次自己单独乘地铁去市中心的红场游玩了。与此同时，老师也会安排我们到莫斯科的博物馆、美术馆及其他名胜古迹去参观。有时也会安排我们到莫斯科以外的地方去旅行，印象特别深刻的是我们到过托尔斯泰的故居参观学习。通过以上方式的学习，我们的俄语水平得到了快速提升。
4. 讨论班
半年之后，随着我们俄语水平的不断提高，俄语教学的时间减少为每日半天。本以为可以稍微轻松一些，不曾想更大的折磨还在后面等待着我。
许多学习数学的同行都知道，俄罗斯数学讨论班是“恐怖”的代名词，时间长，提问尖锐无情。斯迪平教授每周主持两次讨论班，周一下午他与阿诺索夫教授共同主持，周三下午则是由他单独主持。这两个讨论班侧重有所不同，前一个主要邀请国内外的专家介绍最新的研究动态，后一个则是围绕研究生和一些高年级本科生展开。
阿诺索夫教授在莫斯科斯捷克洛夫数学研究所工作，是动力系统的权威专家，动力系统中的 Anosov 系统就是以他的名字命名的。那时他已经是前苏联科学院通讯院士（前苏联科学院院士有院士和通讯院士两类），对我国已故学者廖山涛院士的工作十分看重。有次我回国探亲，他让我找一下廖山涛院士用中文写的文章（具体是哪几篇文章我已忘记，只记得其中有一篇是发表在《北京大学学报》上的）。北京大学的张芷芬先生（莫斯科大学早期的留学生，现在已是 90 多岁高龄）带我拜访了廖先生，得到了论文的抽印本。我至今也没弄明白，阿诺索夫教授是如何看懂中文文章的。第一学期的俄语学习结束后，斯迪平教授要求我去参加讨论班，这是我近半年”噩梦”的开始。刚开始参加讨论班时，我面临着两不懂的状况：俄语听不懂，数学听不懂。俄语听不懂主要是因为数学名词的俄文不熟悉以及演讲者的口音和语速，数学听不懂则主要是以前所学的专业知识与现在讨论课所涉及的内容有较大差别。可以想象一下，这几个月我是多么的煎熬，每周有两个下午好几个小时坐在那里听着“不懂”的东西（好在也没人问我听懂没有）。直到学期结束，这种状况才慢慢好转。
莫斯科大学的讨论班很有仪式感，演讲者一般都是西装革履，十分庄重。讨论班上阿诺索夫和斯迪平教授提问最多，他们对于动力系统领域之外的许多领域也都有很深的了解和掌握，这从某个侧面反映了前苏联数学基础训练的扎实程度。他们的提问很直接，不会顾及演讲者的面子，有时会让准备不充分的演讲者面红耳赤。记得有一次是我的演讲，我只准备了定义和一些定理的陈述，想当然地认为他们不会问细节。当我讲到极小性时，斯迪平教授问课堂上的一个高年级学生，极小性是如何定义的，他回答不上来，这使他感到极其尴尬。当我陈述完某个定理后，阿诺索夫教授突然问起证明细节，我一下子就蒙了，足足在黑板前想了好一会儿才想起如何证明。做完报告后我发现自己急得满头大汗，从此以后再作报告就不敢偷懒了。
在莫斯科大学的四年学习时间里，讨论班请了不少国内外的同行来作报告。至今不忘的有印度数学家达尼（Shrikrishna Dani）、现在美国工作的布鲁克（Alexander Blokh）、法国数学家图文诺（Jean-Paul Thouvenot）等，他们的报告对于我们了解当时的数学研究动态十分重要。讨论班的另一个传统是邀请系里的同事来作报告。印象较深的是 1990 年斯迪平教授 50 周岁生日时，讨论班邀请了西奈和佩辛教授等人来作报告，以报告会形式庆祝教授的 50 大寿。
5. 教育体系与工作环境
俄罗斯的近代数学可以认为是从欧拉开始的，欧拉在俄国生活了 30 多年，他积极将先进的科学知识传入长期闭塞落后的俄罗斯，创立了俄罗斯第一个数学学派——欧拉学派，亲手将一大批俄罗斯青年引进了辉煌的数学殿堂。这也就不难理解，为何在许多前苏联和俄罗斯的书籍里都亲切地称欧拉是“伟大的俄罗斯数学家”。
俄罗斯大学的录取体系与中国不同，采用的是申请制，根据面试、国家统一考试成绩以及其他条件来录取。有公费和自费两种，一般公费名校录取条件较高，申请者必须是优秀毕业生、国考成绩高，参加过奥林匹克竞赛获奖等诸多条件，自费本科的要求相对较低。大多数学校的本科学制为 4 年。在大学期间，高年级学生可以参加各种讨论课，用以选择自己喜欢的专业和导师。进入研究生学习后，学生除参加讨论班外，还要选修专业课程，参加专业、外语、哲学的资格考试，撰写毕业论文，学制一般为 4–5 年。其中研究生的专业资格考试给我的印象深刻。
我们教研室研究生的资格考试是要求学生学习指定的专业书籍，有近十本书，内容涵盖了泛函分析、实变函数与复分析。每本书都指定了需要学习的页码，例如 150-200 页。初看起来不是很多，但这只是表面现象，事实上有一个很深的“陷阱”：数学书不是小说，你不可能只学习指定的页码而不了解前面的定义和定理。因此，准备资格考试的工作量极大。考试时，学生要求从老师准备的若干考题中抽取一题，准备 30 分钟后在黑板上讲解，期间老师会时常提问。因此，准备不充分是无法通过资格考试的。
在我留学时期，莫斯科大学集中了前苏联 1/3 的院士，师资力量雄厚，学术气氛浓烈。记得当时还有许多来自越南、北朝鲜、阿拉伯国家的留学生，系里的老师对于来自中国的学生十分友善，我们与其他国家的留学生也相处和谐。当时，前苏联正处于崩溃的边缘，物资匮乏，可以感觉到有些苏联同学生活拮据，这多少影响到他们投入科学研究的时间。
莫斯科大学的图书馆藏书丰富，借阅也十分方便。当时没有电子查询系统，在国内的图书馆查询某位研究者的论文十分不便，需要用大量时间翻阅纸质的 Math. Reviews 。而莫大的图书馆则为每位研究者建立了卡片，按照字母顺序排列，查找十分方便。对于莫大图书馆没有收藏的图书资料，可以到市中心的列宁图书馆借阅，办理借书证也十分快捷。
与中国现在的研究环境相比，当时我们的工作条件应该说相当简陋。我所在的教研室只有两个不大的房间，一进门是教研室秘书的办公室，里面一间可供老师与学生讨论问题，只有一块很小的黑板。我的学习基本上是在宿舍和图书馆完成的。令人不解的是，2016 年我在莫斯科参加一个国际会议间隙回教研室时，发现那里的场景依然是当年熟悉的样子，没有任何改变。与简陋的办公条件有着鲜明对比的是教研室门外走廊上的“系谱图”（family tree），走近一看便可发现许多教科书上熟悉的名字，可谓是群星闪耀。我驻足在那里久久不愿离去，心中是五味杂陈。
6. 学位论文
动力系统的起源可以追溯到牛顿对于太阳系天体运动规律的研究。因为二体问题的顺利解决，人们自然期待得到三体运动方程的显式解。遗憾的是，这个愿望无法实现。做出根本性改变的是著名数学家庞加莱，他将方程所有的解放在一起组成一个空间，研究解与解之间的关系。虽然这样的思想对于单个解没有帮助，但可以了解“大多数”解的性质。庞加莱的研究为动力系统作为一个学科奠定了基础。时至今日，动力系统已经成长为一棵根深叶茂的大树，其枝叶已蔓延到其他领域。
我硕士阶段的学习是在科大完成的。当时，一维动力系统受到李-约克混沌、沙可夫斯基定理、Feigenbaum 现象的发现以及 Milnor-Thurston 手稿等的影响，研究呈现出勃勃生机。我在硕士阶段学习时，对沙可夫斯基定理很感兴趣，此定理陈述的是：区间连续自映射的周期轨道存在共生现象。这个定理令人惊奇，也让我着迷。我的第一篇短文，便是区间连续自映射周期轨道的研究。对于拓扑动力系统，它不可分解的“最小”子系统称为极小系统，类似于物理世界的“原子”。我之后思考的一个问题便是区间连续自映射极小子系统间是否也存在共生现象？这个问题的难点是如何找到一个类似于“周期”的不变量来描述极小系统。在研究中，我成功地找到了一个不变量，但它不再是一个数，而是一个从自然数到自然数的函数（我称其为分解函数），并且我还证明了此函数的一些优美性质。当时，由于动力系统基础知识的缺乏，我无法证明满足此性质的任意函数都有一个极小系统与之对应。上述两个研究结果便是我硕士论文的主体部分。
到莫大一年后，俄语学习结束了，我便有时间重新来思考这个问题。斯迪平教授的研究兴趣广泛，但主要集中在泛函分析、动力系统和遍历理论。他对我研究的课题并不熟悉，但鼓励我做下去。经过一段时间的努力，我解决了以前遇到的难题并成功地将沙可夫斯基定理从周期轨道的共存拓广到极小子系统的共存。导师对我取得的成果很满意，曾在多个国际会议上进行介绍。同时，他还亲自修改了我论文的俄语版，并请阿诺索夫教授推荐将这个研究成果发表于 Dokl. Akad. Nauk SSSR 。这个杂志是前苏联最好的杂志之一（与法国的 C. R. Math. Acad. Sci. Paris 杂志相似），只需陈述结果，但需要通讯院士及以上的专家推荐才会被接受。这也是斯迪平教授让我在讨论课上演讲，阿诺索夫认真提问的原因。
在之后的研究中，我又研究了分解函数与动力系统的一个重要不变量——熵之间的关系。同时，对于遍历系统（为保测系统不可分解的最小单元）也引入了分解函数，并利用它得到区间连续自映射遍历子系统共存的结果。上述三个研究成果构成了我 PhD 论文的主体部分。
这里需要提到的是，前苏联的学位系统有点类似于法国和德国的系统，大学毕业读完研究生后可以得到科学候补博士（字面上的意思，国内也称副博士，等同于美国的 PhD ）学位，这也是大多数人的最终学位。博士学位（Doctor of Sciences）不是读出来的，需要工作若干年后有大量工作积累时才能申请，并对写出的专著进行答辩后方可获得，因此只有极少数人能够获得此殊荣。斯迪平教授的副博士学位（即 PhD 学位）是 1968 年获得的（柯尔莫哥洛夫和罗克林为答辩委员会成员），而博士学位则在 1987 年才获得（阿诺索夫、阿诺德和西奈为答辩委员会成员），前后间隔近 20 年。遗憾的是，1987 年暑假我回国探亲，没能参加他的博士答辩。
从我现在对于数学理解的角度来看，我的 PhD 论文水平并没有那么出色，我指导过的若干博士论文的水平都超过了它。但是，从关心的问题出发，坚持不懈地做下去并最终解决问题的过程却是我终生取之不尽的财富，它让我在以后的研究中不畏难题，坚持不懈，并解决了一些自己十分渴望解决的问题。
7. 学术交流
我在莫斯科的四年时间正是前苏联巨变的前夜。那时，华约和北约阵线分明，我们留学生拿的因公护照可以在华约国家间自由通行，不需要签证，也可以去西德呆一天。那时，前苏联的国内外学术交流逐渐频繁，与中国的学术联系也越来越多，例如我在莫大就见过一些莫斯科大学的前辈校友张芷芬，谷超豪和冯康先生等人。讨论课上不时有国外同行来作报告，我们也有机会去国外参加国际会议。在此期间，我参加了三次国际会议，每次都给我留下深刻印象并收获颇丰。
第一次参加国际会议是去意大利的国际理论物理中心。那时，中心的数学组经常组织暑期班和研讨会，1988 年组织的正好是动力系统方向的研讨。暑期班结束后，组织者挑选了一些学员留下参加研讨会，并让我们自愿报名在会议间隙作简短的报告。当时，我的第一个结果已经做出来了，文章是用英文写的，觉得英文报告也可以对付，便大胆地报了名。现在想想，那时的英文肯定不是很流畅，不过报告还是讲下来了。意想不到的是，来自英国的席瑞思（Caroline Series）女士对我的报告很感兴趣，问了不少问题。
第二次国际会议是 1989 年去波兰参加的。因为有考试，我未能与斯迪平教授同行。当我到达弗罗茨瓦夫（Wroclaw）技术大学时才知道会议是在有一个多小时车程的山区举行。十分感谢弗罗茨瓦夫技术大学数学系一位热心的老师帮我安排了住宿并在第二天送我去了会议举办地。那是一次较大的国际会议，有来自美国、法国等地的许多同行，大会自然没有给我这个学生安排报告。没想到的是，斯迪平教授为了让我能在同行面前讲述我的研究成果，将他 45 分钟的报告时间让出 25 分钟给我，这也算是我第一次在国际会议上作正式报告。此次波兰之行，对我今后学术研究的发展起到了至关重要的作用，在会议上我认识了许多同行，他们之中不少人后来都成为我的朋友和合作者，其中就有多纳洛维奇（Tomasz Downarowicz）、费伦齐（Sebastian Ferenczi）、莫迪特（Christian Mauduit）、鲁道夫（Daniel Rudolph）和帕克（Kyewon KohPark）等人。
1989 年我又一次来到国际理论物理中心参加会议，会上再次遇到席瑞思女士，她应该是会议的组织者之一。那时，我正在考虑毕业后的去向，觉得中心数学组的博士后是一个不错的选择，但竞争比较激烈。我请求席瑞思女士为我写推荐信，她爽快地答应了。庆幸的是，由于她的大力推荐，我的申请得到了批准。能够参加此次会议，多亏斯迪平教授的帮助。我的意大利签证比较顺利，但在购买机票时遇到了麻烦，航空公司说票已售罄。于是他便领我去航空公司与他们理论，为我争取到了机票。由此可见，1991 年苏联解体之前各个系统的运转已经呈现出了严重问题。
除积极支持我参加国际会议外，斯迪平教授还创造机会让我与前苏联的同行有更多的交流。沙可夫斯基（Oleksandr Sharkovsky）是乌克兰数学家，在基辅的乌克兰数学研究所工作。每当那里有与我兴趣相关的学术活动时，斯迪平教授便积极推荐我参加。在我的印象中，四年时间里我至少去过那里两次，并在那里结识了米休列维茨（Michal Misiurewicz）、科尔亚达（Sergiy Kolyada）和斯诺哈（Lubomír Snoha）等同行，为我今后的发展起到了很好的推动作用。
有一年冬天，斯迪平教授应邀去法国科学院讲学，他打电话让我将论文送到火车站，以便他向法国同行介绍。当我赶到火车站时，他正在纷飞的大雪中等我，让我十分感动。我是他唯一的外国学生，处处都能够体会到他对我的关心和支持。
8. 留学生活
我在莫大留学的四年期间，正是国内改革开放，搞活市场经济的关键时期，粮票等票证正渐渐退出历史舞台。每次回国探亲，我都能感受到国内日新月异的变化。与此同时，世界格局也在酝酿着大变革：1990 年东德西德合并，1991 年苏联解体，1992 年南斯拉夫联邦彻底解体。
当时的苏联，物资十分匮乏，生活日用品都需要排队购买。记得有一次我向导师抱怨好久没吃上大米了。第二天他便给我带来一公斤大米，令我感动，这应该是他太太花时间排队买来的。好在国家给我们提供了足够的奖学金，不必为生活发愁。实在紧张没有时间排队时，我们可以在农贸市场用高些的价格购得，也可以用美元在特定的商店（相当于当时国内的友谊商店）购买。莫大宿舍的每一层都配备了两个厨房供学生使用。每当吃腻了食堂的饭菜后，我们就会自己动手做中国美食，改善一下生活。
莫斯科的冬季很漫长，我们除了可以在大学的室内体育馆进行体育锻炼外，也可以在室外滑雪和溜冰。春暖花开的日子，在清澈的莫斯科河岸边漫步，欣赏着满天飘动的白云、翠绿的树木和河中悠闲的野鸭，十分惬意。由于去东欧国家不需要签证，加上火车票也十分便宜，我们经常利用假期去那里旅游。华沙、布达佩斯、布拉格等城市都是我十分喜欢的地方，让我多次流连忘返。
在莫斯科的四年中，我与一些同学结下了深厚的友谊，成为了终身的朋友。同时，我的个人生活也收获满满。在去莫斯科之前，我认识了张梦萍女士。她是我在科大 79 级的同学，本科和硕士学习力学，后来在科大数学系获得计算数学方向的博士学位，现在是科大数学系的教授。我们 1988 年结婚，并在 1990 年诞下我们的宝贝女儿。我妻子在生活上给予我无微不至的照顾，支持我的研究工作，转眼间我们已经在一起三十多年了。有意思的是，女儿的博士学位是统计方向，我们三人正好组成一个“数学系”，专业齐全。
9. 斯迪平教授的学术成就
说起来很是惭愧，由于与导师的研究兴趣有比较大的差别，之前我对他的研究成果了解不多。他去世后，他的学生、生前好友韦斯（BenjaminWeiss）、图文诺（Jean-Paul Thouvenot）等及他的导师西奈一起为他写了悼词2。在准备悼词的过程中，我对于他的生平和研究工作才有了比较全面的了解。
斯迪平中学时成绩优异，中学毕业后受其父亲的影响选择在莫斯科动力工程学院学习热物理。在大学里听了偏微分方程专家维希克（MikhailVishik）的数学课程后，喜欢上了数学，从而转学到莫斯科大学力学数学系学习。本科生阶段，他的导师是贝雷辛与西奈教授，研究生阶段则为西奈教授。
在本科学习阶段，斯迪平积极参加西奈的讨论班，并展现出他出色的数学天赋，解决了柯尔莫哥洛夫提出的关于勒贝格空间上自同构谱的一个问题。之后，他与卡托克和欧瑟勒兹合作发展了用周期轨道逼近一般系统的理论。这些结果得到莫斯科数学会的表彰，斯迪平也因此被邀请在 1970 年于法国举办的国际数学家大会上作报告，介绍研究成果。那年他刚满 30 岁。
研究生毕业后，他留在莫斯科大学力学数学系任教，并开始招收研究生、组织自己的讨论班。在斯迪平众多的研究工作中，变换群的作用是一个重要的方面。分类是任何一个数学理论的永恒主题，在动力系统中“相同”的两个系统称为同构。我们知道，柯尔莫哥洛夫-西奈借助信息论中熵的概念在动力系统中引入了熵这个十分重要的同构不变量。熵理论发展过程中的一个里程碑是奥恩斯坦（Donald Ornstein）证明了整数群作用熵相同的两个伯努利系统是同构的，也就是说，熵是整数群作用伯努利系统的完全不变量。七十年代早期，斯迪平则证明了对于含有无限阶元素的可数群作用，熵相同的二个伯努利系统也是同构的，此结果极大地推广了奥恩斯坦的著名结果，在数学界引起了极大的关注。
斯迪平整个研究工作的一条主线为测度空间上的群作用。他的研究引发了许多新的研究课题，例如可测群理论、渐近群理论等。他与卡托克和欧瑟勒兹是首先认识到区间交换映射重要性的学者；他也是首批关注群和图的概率结构的研究者。他的研究还涉及到 C* 代数和冯·诺伊曼代数，并且在可积系统和哈密尔顿力学的研究中也有重要的贡献。由此可以看出，斯迪平教授数学知识渊博，研究涉及现代数学的诸多方面。
斯迪平对于学生的培养倾注了大量心血，常常在深夜打电话与学生讨论问题。他指导了 30 多位 PhD 学生，获得了极大的成功，学生格里戈丘克和阿耶夫（Oleg Ageev）被邀请到国际数学家大会作报告，分别介绍他们在几何群论和谱理论中罗克林猜想方面的出色成果。
为庆祝他 60 岁生日，2001 年 Russian Math. Surveys 上发表了一篇文章介绍他多方面的研究1。2012 年美国数学会的 Contemporary Mathematics 的系列丛书出版专辑，庆祝他 70 岁生日4。为庆祝欧瑟勒兹和斯迪平的 80 岁生日，2021 年 Trans. Moscow Math. Soc. 杂志的第一期出版了专辑5，遗憾的是斯迪平教授在此之前突然离世，没有能够见证专辑的出版。荣幸的是，我也被邀请在后两辑文献中发表了研究成果，祝贺他的生日。
我想在这里借用 Anatolii Mikhailovich Stepin 3一文的结尾作为此小节的最后一句话“对斯迪平的美好记忆将永远留在他的家庭、学生和同事心里“（The bright memory of Anatolii Mikhailovich Stepin will forever remain in the hearts of his family, students, and colleagues）。
10. 后记
1990 年 12 月 24 日，又是一个大雪纷飞的日子。当晚，我与夫人乘坐火车离开莫斯科前往意大利，告别了生活四年多的莫斯科，开始了人生的又一段旅程。离开莫斯科时，我已经提交了学位论文。次年 5 月我从意大利回到莫斯科进行了答辩，答辩前的诸多必要手续都是导师安排他在莫斯科大学学习数学的儿子帮我办理的。
转眼之间，两年过去。1993 年新年后，我结束了在意大利的博士后研究。此时，苏联已经不复存在，取代它的是独立后的原各个加盟共和国。回国途中经过莫斯科时，我做了短暂停留并拜访了斯迪平教授。他很高兴，对我回国工作的决定给予了充分肯定。回国工作后，我与他保持着密切联系，他对于我的学术研究依然十分关心，经常给予我他力所能及的最大支持。他几次问我是否愿意回莫斯科进行博士学位答辩，因为工作繁忙，加之答辩前需要去莫斯科几个月准备论文，我都推辞了。想必他有些失落，这也是我的憾事。
回国之后我们常常在国际会议上相遇，由于回国后读书、写作和交流只用英文，我的俄语退步很快，好多单词都忘了。他对此十分不满，我们见面后的交谈比较奇怪：他用俄语（希望我不要忘了），而我则用英文，好在他的英文很好而我也还能够听懂俄语。
回国后的若干次相见，印象深刻的有以下几次：
一次是 2000 年乌克兰同行科尔亚达等人在克里米亚组织了一次国际会议，邀请我参加。为了让我与同行有更多的接触，他邀请好友韦斯、图文诺等与我共进晚餐，介绍我与他们相识。弗斯滕伯格（Hillel Furstenberg）与韦斯是以色列动力系统的领军人物，图文诺则是法国相关领域的权威专家。他们对于我之后选择研究方向影响很大，最近几年也成为我的合作者。韦斯和图文诺都已经年过八旬，依然活跃在科研一线，令人敬佩。
另一次是 2014 年波兰同行莱曼奇克（Mariusz Lemańczyk）等人组织了一次国际会议，邀请我和黄文参加。到达后的第二天早晨，我还在睡梦中时便听到有人敲门，我问是谁，门外便传来导师熟悉的声音“я”（我）。他邀我一同共进早餐，交谈甚欢，并很高兴我带过的学生黄文也在快速成长。两天后，他急切地找到我说他要马上赶回莫斯科，原因是阿诺索夫病重住院，他要去医院照顾。由此可见，他对学生关心照顾的同时，对师长更是敬重有加。
2016 年底是我与斯迪平教授最后一次见面，之后一直保持着联系。他与我的最后一次通信是在他去世前的一个月，要求我为他负责的一个杂志审阅稿件。阿诺索夫去世后，斯迪平与其他数学家组织了一次国际会议以纪念阿诺索夫的 80 岁诞辰。我在法国参加完一个国际会议后转机飞往莫斯科，由于签证的原因，到达会场已经是会议第一天的深夜。饥肠辘辘的我被热情邀请到俄罗斯同行举办的聚会，不仅度过了一段愉快的时光，还解决了我的晚餐。但让我感到凄凉的是，由于美国与俄罗斯关系紧张，阿诺索夫在美国工作的生前好友与同事大多没有参会。会议上，俄罗斯同行报告的结果都很深刻。但让我有些茫然的是，他们大多在做一些十分传统的课题，对于新的课题和方向不太了解也不太感兴趣。俄罗斯的数学从欧拉开始有着灿烂辉煌的过去和优良的传统，理应发扬光大，但继承传统似乎不应该成为继续前进的沉重枷锁。但愿我的担心是多余的！
转眼之间我离开莫斯科已经三十多年，我的研究兴趣也经历了两次大的转变，从低维动力系统转向一般的系统，又从一般的系统转为动力系统在组合数论中的应用。无论如何，我对数学初心未改，热爱依旧，对学生的培养尽心尽力，这是导师多年的言传身教在我这代人身上的传承。
值得一提的是，与我一同赴苏联留学的 10 名同学中已经有两位被选为中国科学院院士，在俄罗斯获得博士学位的周向宇教授也被选举为中国科学院院士。这说明俄罗斯在学生的培养方面有不少值得我们借鉴的地方。2020 年 6 月，在中俄两国领导人的大力推动下，依托北京大学成立了“中俄数学中心”，我也参与中心的一些相关工作。期待中俄两国的数学交流以中心的成立为契机能够继续深化；期待不久的将来，在我们宽敞舒适、窗明几净的办公室外，中国数学家也能够在数学的星空中发出耀眼的光芒。
致谢
感谢耿纯、裴建胜、景健同学以及中科大数学科学学院黄文、邵松教授对初稿提出的宝贵建议；感谢北京外国语大学俄语学院郭淑芬教授对初稿的仔细阅读和提出的宝贵修改意见；感谢莫斯科大学力学数学系雷日科夫教授提供的若干照片。同时，感谢周向宇院士、《数学文化》期刊的主编汤涛院士给予的鼓励和支持。
作者简介：叶向东，中国科学院院士，发展中国家科学院院士，中国科学技术大学教授，长期从事基础数学中拓扑动力系统、遍历理论及其应用的研究。
1 D. Anosov, A. Bolibrukh, A. Vershik et al, Anatolii Mikhailovich Stepin (on the occasion of his sixtieth birthday), Russian Math. Surveys. 56(2001), 201-205.
2 O. Ageev,et al. Anatolii Mikhailovich Stepin (obituary), Russian Math. Surveys, 77(2022), N.2, 361–367.
3 鲍恩（Rufus Bowen）的合作者.
4 L. Bowen, R. Grigorchuk, and Y. Vorobets (editors), Group actions on probability spaces， Contemporary Mathematics 567 (dedicated to Stepin's 70th birthday), 2012.
5 V. Ryzhikov (editor), Trans. Moscow Math. Soc.，(dedicated to the 80th birthdays of Oseledets and Stepin), 82, 2021.
好玩的数学 2023-03-25 07：01 发表于江西
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