李雅普诺夫：彼得堡数学学派的健将
李雅普诺夫：彼得堡数学学派的健将作者 | 苏淳（中国科学技术大学数学系）、刘钝（中国科学院自然科学史研究所）
来源 | 自然辩证法通讯,1987(2):48-68+58. 原标题《彼得堡数学学派的健将——纪念 A.M.李雅普诺夫诞生一百三十周年》
他，已给自己的智慧系上坚强的带子，
他，已为无比的刚勇激起了自己的雄心。
——《伊戈尔远征记》
19 世纪末至 20 世纪初，当切比雪夫（П. Л. Чебышев, 1821—1894）、马尔科夫（А. А. Марков, 1856—1922）的一系列创造性工作使西欧数学界感到震惊之际[注①：切比雪夫和马尔科夫的数学工作，可参阅笔者撰写的《彼得堡数学学派的奠基人》和《彼得堡数学学派的中坚》，两文分别见本公号 2022 年 11 月 18 日和 11 月 24 日]，又一位数学家为俄罗斯增添了光彩：他在动力系统稳定性理论和旋转液团平衡理论方面的工作，堪与当时最伟大的数学家彭加勒（Henri Poincaré, 1854—1912）媲美，他在概率论、微分方程和势论等领域也做出了杰出的贡献，这个人就是彼得堡数学学派的健将亚历山大·米哈伊洛维奇·李雅普诺夫（Александр Михайлович Ляпунов, 1857—1918）。
俄国数学家亚历山大·米哈伊洛维奇·李雅普诺夫
早年岁月
当非欧几何的奠基人罗巴切夫斯基（Н. Лобачевский, 1792—1856）被任命为喀山大学校长的时候，本文主人公的祖父正在那里当会计。这个普通职员的众多子女中有三人特别受到命运的垂青：长子维克多日后成了苏联科学院院士克雷洛夫（А. Н. Крылов, 1863—1945）的外祖父；幼女叶卡捷琳娜嫁给生物学家 Р. М.谢切诺夫，此人的哥哥 И. М. 谢切诺夫（И. М. Сеченов, 1829—1905）被人称为俄国生理学之父；还有一个儿子就是本文主人公的父亲米哈依尔·瓦西里耶维奇，他 1839 年毕业于喀山大学，随后留在该校天文台工作，1856年应聘成为雅罗斯拉夫一所高级中学的校长。雅罗斯拉夫，这座以11世纪基铺大公命名的古城，南面莫斯科，西北连接雷宾斯克的大湖区，从17世纪以来就成了伏尔加河上游的重要商埠。米哈伊尔主持的捷米多夫斯基高级中学是当地的最高学府。他治校有方，颇得人望。翌年6月6日，他的妻子索菲亚生下一个男孩，这就是 А. М. 李雅普诺夫。
李雅普诺夫从父亲那里接受科学的启蒙，这位曾在喀山大学天文台工作的人经常向爱子讲授宇宙的奥秘：太阳是一个巨大的燃烧的球，地球是一团又粘又烫的旋转体，月亮就是从它上面甩脱出来的。这些奇妙的知识在李雅普诺夫幼小的心灵留下终身难忘的印象。但是好景不长，父亲在他七岁那年双目失明，只好辞去职务，全家迁居到母亲在西姆比尔斯克的乡下老家去。又过了四年，父亲去世了，姑妈叶卡捷琳娜看到母亲艰难地带着三个孩子生活，就把11岁的李雅普诺夫带到自己家中抚养。
这是后来被命名为谢切诺夫村的一个贵族庄园，姑父十分喜欢妻子领养的这个俊秀内侄，让他与自己的女儿娜塔莉娅一同学习、玩耍。青梅竹马，两小无猜，若干年后他们结为伉俪，而且爱得极深。在姑妈家里，李雅普诺夫还经常见到新当选为俄罗斯科学院通讯院士的 И. М. 谢切诺夫。在以后的学术生涯中，他与这个年龄和专业都相差悬殊的生理学家结下了深厚的友谊。
1870 年，母亲带着两个弟弟搬到了下诺夫哥罗德[注②：1932 年后一度改名为高尔基市，1990 年恢复原名]，同时领回了李雅普诺夫。从未进过中学的李雅普诺夫插班进入三年级，但他仍然感到课程太轻松了，许多知识在姑妈的庄园里已经学过，因此有大量时间来阅读文学、历史和自然科学方面的作品。1876 年他获得金质奖章从中学毕业。
同一年李雅普诺夫考入彼得堡大学，当时该校仅有文史、法律、东方语言和数学物理四个系。他先在数学物理系的自然科学专业注册，常去听化学教授门捷列夫（Д. И. Менделеев, 1834—1907）的课。但是不过一个月，他就感到数学的抽象性和严密性更适合自己的口味，于是毅然转到数学专业来上课。
幸遇良师
经过切比雪夫近30年的耕耘，此时彼得堡大学的数学声名已远播俄国与欧洲大陆，许多有才能的数学家都被吸引到这里来。他们当中有科尔金（А. Н.Коркин, 1837—1908）、佐洛塔廖夫（Е. И. Золотарёв, 1847—1878）这样的中青年教师，也有索霍茨基（Ю. В. Сохоцкий, 1842—1929）、波瑟（К. А. Поссе, 1847—1928）这样的研究生，才华出众的马尔科夫则是三年级的学生。李雅普诺夫偏爱力学，指导他的博贝廖夫（Д. К. Бобылёв, 1842—1917）是一位出色的力学家。李雅普诺夫后来在纪念博贝廖夫的讲演中说道：“差不多四十多年来，我都记得那位已经逝世、在大学毕业后最初几年作为我的导师的博贝廖夫教授……感谢他经常在百忙中抽出时间审查我青涩的文章。他是一个淳朴而富有高贵气质的学者。当我在阅读某些著作遇到困难时，他总是非常细心地向我详加解释。”（，译文略有修改）
大学的后两年对于李雅普诺夫来说特别艰辛，压力并非来自学业而来自生活。慈母于 1879 年去世了，两个弟弟一个刚考入音乐学院、一个尚未成年，李雅普诺夫只好把小弟弟鲍里斯接到彼得堡，借住在姑父一个寡居的姐姐家里。恰好 И. М. 谢切诺夫也是这所房子的常客，他提议由李雅普诺夫为他本人讲授基础数学，作为报酬由他支付兄弟两人的食宿费用。李雅普诺夫非常满意这笔交易，除了给令人尊敬的长辈讲一些数学知识外，他还经常出席谢切诺夫及其学生们组织的郊游和读书会。谢切诺夫也鼓励他，要想在科学上取得辉煌成就，就要有百折不挠的勇气和坚韧不拔的毅力。就这样，李雅普诺夫一面为自己和弟弟的生计操劳，一面准备着毕业论文。在博贝廖夫的指导下，他撰写的关于流体静力学的论文获得系里的奖金。在此基础上他完成了《重物在固定形状容器中的平衡问题》和《液体静压的势问题》两文，于 1881 年发表在《俄国物理化学学会通讯上》上。
1880 年李雅普诺夫以优异成绩从大学毕业，根据博贝廖夫的建议被留在力学教研室工作。从某种意义上来说，力学是一门令人生畏的专业，古往今来，只有阿基米德（Archimedes, 287—212 BC）和牛顿（Newton, 1642—1727）那样的巨匠才能同时在数学和力学领域建立辉煌业绩。李雅普诺夫用两年时间通过了硕士课程考试，但是论文选题却迟迟未定，为此他去请教“大主教”切比雪夫。关于这件事，他后来在题为《关于天体形状》的著名讲演中曾有详细的叙述，内中提到：“1882 年，为了选择硕士论文题目，我不止一次同切比雪夫交谈各种数学问题，而他总是阐述这样一种观点，即对于已经准备献身数学的所有年轻学者来说，那些虽然看似时髦、但是却能用众所周知的方法解决的题目是不值得光顾的，而应该把精力倾注到某些重大的、并且具有公认的理论困难的课题上。接着他就向我建议了如下的课题：人们已经知道，在角速度的某种影响下，椭球体不再是旋转液团的平衡形状；问题是，此时它们是否转变为某种新的平衡状态，这些形状在角速度略微增大时稍与椭球有所不同？他又进一步说：如果解决了这个问题，你的工作就会立即引起世人瞩目。”（，стр. 13）
踌躇满志的李雅普诺夫还不知道，“大主教”以前也向佐洛塔廖夫、柯瓦列夫斯卡娅（С. В. Ковалевская, 1850—1891）等人提出过同一问题，而这些赫赫有名的学者都未能啃动这粒坚果。他陷入旷日持久的胶着战，在一年半的时间里绞尽脑汁也未能获得进展。当他向切比雪夫汇报自己尝试的种种方法以及遇到的困难时，连问题的提出者也感到吃惊。看来要在短期内攻克这一难题是不可能的了。就此李雅普诺夫总结道：“经过若干次一无所得的尝试之后，我觉得应该暂时把这个问题搁置一段时间了。但是对它的思考却把我引向另一问题，即椭球状旋转液团平衡形态的稳定性，于是我决定以后者作为硕士论文的研究题材。”（，стр. 13）
论文于 1884 年完成，翌年 1 月正式通过了答辩。两位教授博贝廖夫和炮兵学院的布达耶夫（Н. С. Будаев）是论驳者。尽管与切比雪夫原来的问题相比，这篇论文仅仅讨论了一个特殊情况，但是它的价值很快得到国内外同行的承认。同年李雅普诺夫被任命为讲师，转年英国《天文学公报》刊出了论文的摘要。若干年后，这篇论文还被完整地译成法文发表在《图卢兹大学学报》上。
与其他才华出众的青年数学家相比，李雅普诺夫为硕士学位付出了较多的时间和精力，但他对此终身不悔。相反，他由衷地感谢引导他从事力学研究的博贝廖夫，感谢向他提出一个如此困难的问题的切比雪夫，认为“切比雪夫以他的谈话和见解根本性地影响了我一生科学工作的方向。”
别开生面
1885 年秋天，李雅普诺夫接受哈尔科夫大学的邀请，以讲师的身份主持该校的力学课程。哈尔科夫是乌克兰第二大城市，哈尔科夫大学是乌克兰的第一所高等学府。数学家和著名的唯物论者奥西波夫斯基（Т. Ф. Осиповский, 1765—1832）曾担任该校校长，指导过切比雪夫的奥斯特洛格拉德斯基（М. В. Острогадрский, 1801—1862）也曾在此求学。李雅普诺夫来到之前，力学讲座由伊姆汉涅茨基（В. Г. Имшенецкий, 1832—1894）主持，后者于1881年被选为彼得堡科学院院士后，这个职位就一直空缺着。
当时沙皇政府刚通过了一个针对大学中进步势力的议案，国民教育大臣杰里亚诺夫是这一措施的忠实执行者，鼓吹“要以宗教真理尊重财产所有权，以及用遵守社会秩序的根本原则去教导青年”。哈尔科夫大学一直是乌克兰民主运动和民族主义者活动的大本营，因此学生们对这位新来的俄罗斯教师抱着一种怀疑和敌视的态度。后来成为李雅普诺夫得意门生的斯捷克洛夫（Владимир Андреевич Стеклов, 1864—1926）回忆道：“众所周知，1884 年杰里亚诺夫的反动措施使学校条例遭到破坏。1885 年我已是大学三年级的学生，作为 1863 年条例[注③：指俄国教育部那一年通过的一项关于扩大高校自治权利的条例]的拥护者，与绝大数同学一样，对新秩序抱着极端对立的态度。当同学们得知从彼得堡派来一位新老师，我们立刻断定是那个专谋私利的傀儡集团中的又一可耻庸人。”但是，当同学们看到“一位仪表堂堂的美男子在敬重的老系主任列瓦科夫斯基教授陪同下步入教室”，骚动开始平静下来。“系主任作了简短的介绍之后离开了教室，这位与我们年龄相差无几的年轻人就开始用一种由于激动而略微发颤的声音讲起质点动力学来。其实这门课早已由捷拉尔（Делар）教授讲过，内容对我们来说并不陌生。但是他的讲演一开始，我就听到了自己未曾听过的东西，这是我在所认识的有名望的教师那里从未听到过的。因此当初内心中的敌意立刻烟消云散了。青年人亚历山大·米哈依洛维奇以其未加修饰的魅力，竟然在一个钟头内征服了这批心怀偏见的听众。从那天起，李雅普诺夫在学生中获得了完全特别的威信和地位，我们开始怀着尊敬的心情对待他，一些本来对科学不感兴趣的同学也开始振奋起来了”。（转引自，译文略有修改）
直到 1890 年，力学研究室几乎就是李雅普诺夫一个人唱独角戏：他又要当讲师，又要当助教，还要安排实验和指导学生写论文，就是授课的讲义也是他亲自编写的。即便如此，李雅普诺夫仍然没有忘记运动稳定性的研究，不过他还是没有直接接触切比雪夫提出的旋转液团平衡形状的稳定性问题，而是先对具有有限个自由度的力学系统的平衡形状的稳定性进行了研究。
这一问题来源于 18 世纪天文学家对太阳系运动规律的探索，拉格朗日 （J. L. Lagrange, 1736—1813）和后来的狄里赫莱（P. L. Dirichlet, 1805—1859）都曾致力于此。从数学上来说，这一问题就是要根据一个微分方程组的结构来研究解的性质或确定其曲线的分布。1888 年，李雅普诺夫以《具有有限个自由度的力学系统的稳定性》一文揭开了这场攻坚战的序幕，随后陆续发表了《刚体在液体中的正规螺旋运动》、《具有周期系数的二阶线性微分方程理论中的一个系列》等文。最重要的工作则集中在博士论文《运动稳定性的一般问题》中。这篇论文于 1892 年 9 月在莫斯科大学通过答辩，论驳者是茹科夫斯基（Н. Е. Жуковский, 1847—1921）和姆洛捷耶夫斯基（В. Б. Млодзеевский）。答辩获得巨大成功，评委们一致高度评价李雅普诺夫在常微分方程定性理论方面做出的开创性贡献。如同硕士论文一样，这篇文章也被全部译成法文登载在《图鲁兹大学学报》上。
假定上述方程组的右边是关于诸 xk 的幂级数且没有自由项，很容易看出存在零解 xk=0 。在李雅普诺夫意义下，零解稳定性就是在半轴 t≥t0 上关于初始数据的稳定性；换言之，李雅普诺夫意义的稳定性要求对满足 t≥t0 的解 xk(t) ，其初始数据 xk(t0) 的绝对值充分小时，其本身的绝对值也充分小。当相应的微分方程组可积时，判断稳定性并不困难，然而动力系统中的微分方程往往是不可积的，于是只好引入近似方法，包括茹可夫斯基在内的一些学者都曾考虑过，把方程组的右端换成幂级数展开式的线性部分，这样问题就归结为一个线性方程组的稳定性。但是用线性系统来代替给定的动力学系统是否有效、什么情况下有效都是不清楚的。彭加勒在 1881—1886 年期间，以《微分方程所确定的曲线》为题考虑了二阶和部分三阶系统的情况，这可以说是李雅普诺夫之外寻求该问题精确解答的唯一尝试。
为了彻底解决这一问题，李雅普诺夫创立了两种著名的方法，其中第二种已成为稳定性研究中的基本方法，其关键是找出某个依赖于 t、xk 的所谓李雅普诺夫函数，根据这类函数的稳定性去判断解的稳定性。利用这种方法，他在最一般的假定下解决了一次近似可以成为稳定性问题之解的条件问题。他还用这种方法检验了那些特别具有实际背景的系统，如方程组右端展开式的系数为常数或具有相同周期的函数系统。对于前者，如果特征方程（一个 n 次代数式）的根都具有负实部，则原系统的解是稳定的；若有一个根具有正的实部，则原系统是不稳定的；如果不存在具有正实部的根却有实部为零的根，此时就不能利用一次近似来替换。对于后者，他论证了可能存在两种特别值得注意的情况，即特征方程有一个根为 1 及一对共轭虚根的模为 1 的实例。
就这样，李雅普诺夫与彭加勒同时完成了常微分方程定性理论的奠基性工作，但是他们两人考虑问题的出发点和使用的方法是截然不同的：李雅普诺夫主要考虑解的性质，方法则纯属分析式的；彭加勒主要考虑方程所对应的曲线分布，广泛使用拓扑方法。从某种意义上讲，他们的工作都是超越时代的。因此在以后一段相当长的时间内，除了美国数学家伯克霍夫（G. D. Birkhoff, 1884—1944）在彭加勒工作的基础上发展了有关理论之外，关于定性理论的研究一度保持着沉寂的局面。然而 20 世纪 30 年代以来，随着现代物理和工程技术的飞速发展，定性理论成了微分方程领域一个最热门的话题，李雅普诺夫的经典性工作也日益显出巨大的意义。
获得博士学位的第二年，即 1893 年，李雅普诺夫晋升为教授。除了负担繁重的教学任务之外，他还特别关心地方的数学教育和普及工作。从 1893 年起他就担任了哈尔科夫数学学会副主席，1899 年起任主席兼会刊主编，他亲自为会刊撰稿，他的一些重要论文就是在《哈尔科夫数学会通报》上发表的。在他的指导下，哈尔科夫很快发展成沙俄帝国的又一数学重镇，这里的数学物理特别引人注目。
谈到数学物理，还应提起李雅普诺夫在势论方面的工作。还在 1885 年初，李雅普诺夫就考虑在彼得堡大学开设势论课程，只是由于去哈尔科夫就职未能实现。他到哈尔科夫的第二年就发表了两篇有关拉普拉斯（P. S. Laplace, 1749—1827）方程边界值的论文。最重要的工作是 1897 年的《有关狄里赫莱问题的某些问题》，在这里他首次对单层势和双层势的若干基本性质进行了严格的分析，指出在给定范围内狄里赫莱问题解的若干充要条件，这一研究奠定了解决边界问题的经典方法的基础。从 1886 年至 1902 年，李雅普诺夫共发表了 7 篇势论方面的文章，它们当中深刻新颖的思想成了一些后来者，特别是斯捷克洛夫工作的出发点。
李雅普诺夫在哈尔科夫的最后一项工作与概率论有关，虽然只有两篇论文，但是在概率论发展史中的作用却几乎是具有化时代意义的。早在大学三、四年级的时候，李雅普诺夫就系统地听过切比雪夫的概率论课，对老师当年讲到极限定理证明时的一段话有着深刻的印象：“我们在证明时作了种种假设，但是却未能估计出由此产生的误差，因而我们的结论是不严密的。然而直到眼下，我们还无法采用任何令人满意的数学手段来证明这些结论。”要想理解切比雪夫这段话的内涵，就需对概率论古典极限定理的历史作一简要回顾。
这样就为研究独立随机变数和的极限分布提供了一个简便有力的工具。因为独立随机变数和的分布是各加项的分布的卷积，而在加项数目趋于无穷的场合，对卷积作数学处理是比较困难的，为此切比雪夫和马尔科夫才设法通过矩来考察一般规律，只是矩方法损失的信息过多。特征函数方法则保留了随机变数分布规律的全部信息，同时提供了特征函数的收敛性与分布函数的收敛性质之间一一对应的关系，因而这一方法一经引入，就使独立随机变数和弱极限理论获得迅猛进展的可能。若干年后，两位瑞典数学家克莱梅（Harald Cramér, 1893—1985）和艾森（C. G. Essen）对李雅普诺夫估值法的精确化作了很好的工作，苏联数学家伯恩施坦（C.Н.Бернштейн, 1880—1968）和林尼克（Ю. В. Линник, 1915—1972）也对李雅普诺夫的方法作了极大的推广，进一步的发展则导致辛钦（А. Я. Хинчин, 1894—1959）、格涅坚科（Б. В. Гнеденко, 1911—1995）等人现代极限理论的蓬勃发展。
1900 年，李雅普诺夫以其多方面的成就当选为彼得堡科学院通讯院士，转年晋升为院士并兼任数学学部主任；这个位置自 1894 年切比雪夫去世以来一直空缺，为此李雅普诺夫不得不告别生活工作了 17 年的哈尔科夫而到彼得堡赴任。大学的师生们都有些依依不舍，布泽斯库尔（В. П. Бузескул）教授代表大家说出了产生这种感情的原因：“李雅普诺夫是属于那些形成大学真正灵魂的教授们之列的，学校因这些人而存在和繁荣，他们给同事们带来榜样。一切低俗的东西对他来说都是格格不入的，他总是沉醉在科学幻想之中”。(, стр. 117)
对于李雅普诺夫个人来说，前面是一条更辉煌的道路，但他对过去的这 17 年怀着无限的眷恋。若干年后，每当他同人谈起往事，总是满怀深情地说，哈尔科夫的日子是他一生中最幸福的时期。
重返圣地
李雅普诺夫回到自己接受数学洗礼的彼得堡时，“大主教”切比雪夫已溘然谢世，但彼得堡数学学派的光辉却如北极光一样辉耀于波罗的海之滨，全欧洲都在瞩目这个新的数学研究中心。他没有回母校任教，而是在科学院从事研究并领导数学部的工作。
在切比雪夫众多的学生们中间，成就最显赫的两位就是马尔科夫和李雅普诺夫了。马尔科夫虽然只比李雅普诺夫年长一岁，但是在事业上总是顺顺当当地走在他的前面。他比李雅普诺夫早两年考入彼得堡大学，又早两年从大学毕业，早五年取得硕士学位，早六年取得博士学位，早五年成为科学院院士；两人虽然同于 1893 年成为教授，但马尔科夫早在 1886 年就已成为彼得堡大学的副教授了，而那一年李雅普诺夫还是哈尔科夫大学的讲师。尽管有这些差距，但是他们俩人都很清楚对方的创造力，彼此视为学术上的畏友，谁也未曾想过要压倒对方来取代切比雪夫的位置。因此，尽管李雅普诺夫在概率论中心极限定理的研究中采取了一种似乎“异端”的方法，从而使切比雪夫和马尔科夫工作中的弱点暴露出来，他与马尔科夫之间仍然维系着良好的关系。马尔科夫由此而对矩方法做出的改进则再次引起概率论研究方法的变革，对这门科学的现代化产生了巨大影响。
李雅普诺夫不习惯彼得堡上流社会的奢华社交生活。他经常深居简出，每天伏案工作到深夜。他身边的一些熟人多是数学界的同行，除了马尔科夫、科尔金、波瑟这些老朋友，一些年轻的新秀也开始出入他的家门。斯捷克洛夫 1896 年成为教授，1902 年当选科学院通讯院士，在正交函数和数学物理方面颇有建树，他于 1906 年来到彼得堡，1912 成为科学院院士，十月革命以后曾任苏联科学院副院长和数学物理研究所所长，至今苏联的数学研究所仍以他来命名。另一个后起之秀克雷洛夫是李雅普诺夫的表外甥，毕业于海洋学院并留校任教，在近似计算和船舶设计方面卓有成绩，1914 年当选为科学院通讯院士，1916 年晋升为院士。
这时候，李雅普诺夫已把全部精力倾注到切比雪夫当年向他提出的问题上来了，也就是旋转液团平衡态的稳定性问题。1903 年初，工作刚刚有了些头绪，斯捷克洛夫从巴黎来信告诉他一个消息，原来无所不通的彭加勒也在考虑同样的问题，不久前在巴黎大学理学院使用的讲义已汇集成《流体物质的平衡状态》一书，将于近日出版。李雅普诺夫遂于 2 月 15 日复信斯捷克洛夫，不无遗憾地感谢对方的及时通告，信中猜测彭加勒已经完全掌握了自己正在完善的方法，于是决定改换研究方向，转而考虑缓慢旋转的非均匀液团的平衡态问题。但是仅仅过了一个星期，李雅普诺夫就收到斯捷克洛夫寄来的彭加勒的小册子，仔细阅读之后，他发现彭加勒书中只有简单形式的结果，对此自己十多年前就得到了；相反，书中没有提到近似于椭球的平衡状存在的证明。因此他又跃跃欲试，准备在短期内先拿下非均匀液团的平衡态问题，然后再一举攻克切比雪夫当年提出的问题。关于这段插曲和他最后的战略选择，可以从他 2 月 21 日致斯捷克洛夫的信中清楚看出来。他在信中写道：“我的研究被中断了一个星期……这在两方面都是有益的：第一，使我选择了新的研究方向；第二，搞清了原先的研究存在重要简化的可能性。”4 月 7 日，他再次致信斯捷克洛夫写道：“只是在上个星期，我才消除了在证明拉普拉斯问题（意指缓慢旋转的非均匀液团的平衡态问题）级数解的收敛性上遇到的一切疑团，现在必须把这个一直到目前为止还是非常复杂的证明加以简化，根据新的结果完成一本小册子；然后转向我于 1 月份所开始的工作（意指近似于椭球的均匀旋转液团的平衡形状问题即切比雪夫问题）。后一课题的详细报告很难在一年内写好，因为对某些内容还要进行认真的推敲。”
关于缓慢旋转的非均匀液团的平衡态问题，最早的研究属于 18 世纪法国数学家克莱罗（A. C. Clairaut, 1713—1765）。他把这类液团看成是由不同的旋转椭圆面所组成的，所用方法是近似的。后来他的同胞拉普拉斯提出了一种依赖于球函数级数展开式的方法，但是还遗留着一个收敛性的尾巴未曾解决，这就是李雅普诺夫信中所指的“疑团”。信中提到的“一本小册子”当年就完成了，这就是《关于天体形状的理论探索》，书中证明了存在着近似于球体的这类条件下的平衡形状，并将问题化为某类积分-微分方程组的解，而以克莱罗方程作为自己理论体系的第一步近似。第二年他又在《关于行星形状理论中的克莱罗方程及其推广》中继续研究了这类积分-微分方程，证明其中的每一个方程都有一个满足于某项自然条件的定解。1915 年，李雅普诺夫再次把注意力转移到非均匀旋转液团这一课题上来，在他逝世后被发现的遗稿《非均匀旋转液团的某些平衡形状》中，人们发现他已经证明任何非分叉的麦克劳林椭球或雅可比椭球都可能演化成新的平衡形状，他们与原来的形状相近并保持角速度不变，密度则呈弱变化。
椭球状或近似于椭球状的旋转液团的平衡问题源于天体力学。根据万有引力定律，牛顿提出包括地球在内的众多行星的早期都是一种在旋转轴方向上偏离的旋转椭球体。他在 18 世纪的继承人麦克劳林（Colin Maclaurin, 1698—1746）首先严格论证了这一假说，从此这类椭球便被公认为均匀旋转液团的一种可能平衡形状。1834 年，德国数学家雅可比（C. G. J. Jacobi, 1804—1815）证明了三个半轴都不同的椭球体也可能是一种均匀旋转液团的平衡形状。1874 年，柯瓦列夫斯卡娅又在关于土星环的研究中阐述了环状的平衡形态。1885 年，彭加勒用统一的方法综合上述成果，指出均匀旋转液团必定存在着多种不同形式的平衡形态，其中一种可能的形状是与椭球体近似的分叉梨状体；他还进一步推测，这种体系演化的结果可能是一大一小两个互相环绕旋转天体的平衡状态。1902 年，著名生物学家查尔斯·达尔文的次子乔治·达尔文（George Howard Darwin, 1845—1912）根据彭加勒这一未经证明的猜测，在假定梨状体稳定的前提下解释了地球-月球系统的成因。
尽管有这么多杰出学者致力于这一课题，近似于椭球体平衡形态存在性的严格证明还远未达到。对于李雅普诺夫来说，详细的报告也的确“很难在一年内写好”。1905 年，他先以《一个切比雪夫问题》为名，概括性地介绍了解决这一问题的一般方法和他近期取得的成果。详细的研究报告则以《近似于椭球体的均匀旋转液团的平衡形状》为总标题，分成四篇于 1906、1909、1912 和 1914 年陆续发表。
在第一篇文章中，李雅普诺夫建立了基本方程并原则性地阐述了解方程的方法，由此不仅可以导致新的平衡形状存在的证明，而且可以达到所要求的任何精度。除此之外，他还找出了椭球数目与旋转液团倾角之间的关系，指出何时存在着两个麦克劳林椭球和一个雅克比椭球，何时仅存在两个麦克劳林椭球，以及何时为球状的界限，进而又指出这些平衡形状互相转化的条件。这一篇论文还包括对某些超越方程的精细讨论，以此来确定分叉椭球的形状并揭示某些平衡形状的对称性。
第二篇主要是一些详细的近似计算，用以确定与麦克劳林椭球相近的新的平衡形状，以及这种形状应具有的角速度和数量矩。
第三篇与 G. H. 达尔文 1902 年发表的《从一个旋转液团分出二体理论解释双星起源》一文有关。按照李雅普诺夫的研究，旋转液团在某一阶段具有的近似于椭球体的梨状形态是不稳定的，它将很快地恢复成椭球状，这一点与 G. H. 达尔文的前提刚好相反，因此两位学者和他们各自的支持者之间展开了一场长达数年的论战。直到 1917 年，G. H. 达尔文的学生、英国天体物理学家金斯（James Hopwood Jeans, 1877—1946）验证了双方的结果，宣告 G. H. 达尔文的计算有误，这场学术上的风波才告平息。
第四篇再次回到基本方程的讨论上来，李雅普诺夫引入了一个以极角 θ 和 ψ 为自变量的函数 ξ ，作为对平衡形状的表面与椭球面之间差别的标志。这使他又得到一些新的重要公式，从而建立了发展平衡形状的新方法。这个函数 ξ 是以无穷级数的形式给出的，它体现了与第一篇中所引入的公式间的关系。
通过这一系列出色的研究，李雅普诺夫不但创造了一些巧妙的近似方法，来处理相应的非线性积分和积分-微分方程，而且严格证明了这些方法的收敛性；他在斯提吉斯-黎曼意义下推广了积分的概念，并证明了若干新的球函数定理。1915 年以后，李雅普诺夫又发表了多篇论文来完善自己的理论，其中值得特别称道的是 1916 年的两篇：《近似于椭球体的均匀旋转液团的表面方程》，详细讨论了用来定义上述 ξ 函数的无穷级数；《近似于椭球体的均匀旋转液团平衡理论的新考察》，则以多种数学工具证明各种存在性问题，给出了新的平衡性状的方程构造模式。
就这样，李雅普诺夫的大名随着他在纯粹数学和天体力学领域的卓越贡献而声誉鹊起，他的工作得到彭加勒、皮卡德（Charles Emile Picard, 1856—1941）、科赫（Helge von Koch, 1870—1924），以及科瑟拉（Eugène-Maurice-Pierre Cosserat, 1866—1931）等人的赞扬。1808年，李雅普诺夫赴罗马出席第四次国际数学家大会，得以会晤正在那里养病的彭加勒。1909年他被意大利灵采科学院选为外籍院士，1916年被巴黎科学院选为通讯院士。从1909年起，他就是彼得堡学院属下的欧拉全集编辑委员会的成员并亲任18、19两卷的主编。他也是彼得堡、哈尔科夫和喀山三所大学的荣誉成员。李雅普诺夫不愧为切比雪夫最优秀的弟子之一、彼得堡数学学派的健将。
功名身外
李雅普诺夫醉心于数学创造，在彼得堡过着一种近乎隐居的生活。除了大弟弟谢尔盖的演奏会外，人们很少能在公共场合见到他。经常出入他家门的只是少数几位亲友和同行，因此多少给人留下一种离群索居孤芳自赏的印象。但是斯捷克洛夫说：“在李雅普诺夫看似冷淡无情甚至令人生畏的外表背面，隐藏着一个很有气概和富有同情心的灵魂。我们可以说，他具有一颗纯洁无瑕的童心。”（，стр.19）
20 世纪初叶的俄国、沙皇专制统治已濒临崩溃，进步的知识分子纷纷投身于民主运动的潮流，李雅普诺夫也不例外。1905 年 1 月 20 日，他在一份抨击沙皇政府的教育制度、要求改革教育现状的宣言上签下了自己的名字。1915 年当莫斯科大学的涅克拉索夫（П. А. Некрасов）教授提出要在中学开设概率论以培养学生的宗教感情时，他与马尔科夫一道对这一荒谬的提议进行了尖锐的批判。
工作之余，李雅普诺夫喜欢欣赏俄罗斯原野的壮美景色。每当夏季来临，他都要回到西姆比尔斯克母亲的旧居生活。他是一个出色的园艺师，母亲留下的乡间别墅周围点缀着他亲手栽培的棕榈、常春藤和月季花。
他尊师敬长，常常向别人谈起切比雪夫和博贝廖夫的教导，对 И. М.谢切诺夫的恩泽也没齿不忘。在家里，他是一个好兄长、好丈夫。父母双亡后，他毅然承担起两个弟弟监护人的义务，在艰苦的生活环境中供养他们上学深造，直至成为有用人才，但是最能说明他富有人情味的故事还是对妻子娜塔莉娅深沉的爱情了。
还是借居在姑妈家里的时候，他们就彼此有了好感。1886 年 1 月 17 日，李雅普诺夫利用寒假之机，从哈尔科夫赶到彼得堡，与娜塔莉娅举行了婚礼，从此俩人再没有分开过。娜塔莉娅是一位高雅的艺术鉴赏家，对斯拉夫语系的流变也有兴趣，翻译过若干塞尔维亚语的作品。专业上和生活情趣上的差异并没有隔断两颗互相爱慕的心，爱妻给李雅普诺夫的生活带来了欢快。1911 年，娜塔莉娅在瑞士旅行时不幸染上肺病，多方寻医治疗仍无好转。这时候小弟弟鲍里斯已是敖德萨大学的斯拉夫语教授，他希望黑海岸的温暖气候有助于嫂嫂的康复，于是热情邀请兄嫂前来疗养。
1913 年夏天，李雅普诺夫夫妇来到敖德萨，经过一段时间的治疗，娜塔莉娅的病情略有好转。1917 年春天，他们又一同到芬兰疗养，6 月再度来到敖德萨。为了治好爱妻的沉疴，李雅普诺夫不惜中断了自己的工作，花光了所有的积蓄，但是随着国内外政治局势的剧烈动荡，营养品和药品日益紧缺起来。1918 年，德奥军队一度占领了敖德萨，这座城市与彼得堡的联系完全切断了，娜塔莉娅也一再昏迷虚脱。为了挣些钱购买高价的药品，李雅普诺夫应允在敖德萨大学开设名为《关于天体的形状》的讲座，每次两个小时，许多教授和学者赶来听讲。1918 年 10 月 28 日，当李雅普诺夫的第七次讲演尚未结束时，娜塔莉娅病危的消息传来，他匆匆致歉后就离开了教室，听讲者中没有人会想到这堂课竟会是他的“天鹅曲”。10 月 31 日，娜塔莉娅终于停止了呼吸，李雅普诺夫悲痛欲绝，用手枪对着自己头部开了一枪。人们立即将他送到医院抢救，但是连续三天他昏迷不醒。1918 年 11 月 3 日，这位卓越的数学家辞别了人世。
人们尊重他的感情，把他和娜塔莉娅合葬在一起。墓碑上刻着如下的铭文：“动力系统稳定性理论、旋转液团平衡形状理论、微分方程定性理论的创立者，概率论中心极限定理和一系列其他深刻的数学力学课题的探索者。”
主要参考文献
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