专访 Rodney J. Baxter 教授
专访 Rodney J. Baxter 教授策划：刘太平、高涌泉
访谈：詹传宗（台大物理系）
时间：2001 年 11 月 17 日
地点：中央研究院数学研究所
整理：詹传宗 林丰利
来源：《数学传播》
Rodeny J. Baxter 教授 1940 年出生于伦敦。1961 年剑桥大学三一学院毕业，主修数学。后转往澳洲攻读博士，1964 年获澳洲国立大学博士学位。自 1970 年起任教澳洲国立大学理论物理系迄今，其间曾访问知名研究机构及大学。Baxter 教授是统计力学与可积模型方面的大师，是多种学术奖项的得主，并为澳洲科学院院士及伦敦皇家学会院士。
Q：可否请您谈谈您的教育背景，由大学时期开始。
A：嗯，我生于英格兰伦敦东北方，中学在 Essex 的 Bancroft's School 渡过，毕业后进入剑桥大学 （Cambridge）主修数学，1961 年毕业之后我得到澳洲的奖学金到那儿攻读博士学位，那里有很多由英美等地放逐而来很有才华的人。
Q：在澳洲您是主修物理吗？
A：嗯，我在理论物理系。
Q：那里是否和英国比较像，就是理论物理其实是比较偏数学的？
A：噢，不同学校间有些差异，在剑桥确实偏爱将数学应用到物理。1968 年我到麻省理工学院数学系和 Elliott Lieb 一起工作，然后 Elliott 转往普林斯顿数学系。
Q：是什么原因让您转往统计力学与可积模型方面发展？
A：那其实是个意外，我在澳洲堪培拉的指导教授 Le Couteur，他想让我做场论和散射矩阵的工作，这在六零年代是最流行的理论，即使至今仍然很热门。但是我没有多大进展，后来我刚好看到一篇论文 Andrew Lenard 做的有关一维库伦气体的问题，他宣称他能解关于电子在均匀电荷背景的问题，我审视这个问题并且着手做了，这是一个我能想的特定的问题，所以我就这样一头栽了进去。后来我和 Elliott Lieb 作另外的二维的问题，那是关键的一步，那时我做了一件正确的事，就是了解 Elliott 的某些工作并且继续做下去。
Q： Elliott 在英国做的吗？
A：我们那时都在剑桥（Cambridge，Boston，U.S.A.）的麻省理工学院。我生命中有二个剑桥，这常让人混淆。
Q：你认为 Elliott 对你影响最大吗？
A：在学术上来说，很可能是的，我和妻子原本打算在剑桥（Cambridge，Boston）待2年，也如愿待了 2 年，离开时我们想从英国搭轮船回澳洲，但在 1970 年代轮船班次不多，我们有两个选择——在英国等两个月或五个月，我妻 Elisabeth 要我选择在英国待五个月，于是我们到了英国，在波士顿二年，正是越战时期，经过反战，示威等种种骚动的我们，到达英格兰沈静、昏昏欲睡的海边时，感到莫大的文化震撼。Elisabeth 想到我们要在这儿待五个月有些焦虑，不过，这五个月时光很值得，太值得了。在五个月近尾声时，我拾起早先和 Elliott Lieb 的工作，我有个灵感看出原本取决于两个参数的转换矩阵的本征向量，实际上只和一个参数有关，这表示具有不同速率参数值的转换矩阵彼此交换。然后我发现 Bethe Ansatz* 的结果实际上告诉我们一定存在另一个矩阵 Q ，它和转换矩阵 T 交换，并且有一些特定的性质。事实上这就提供了解决六顶点模型的第二个方法。另一方面，那时有个众人瞩目的问题：八顶点模型，它无法用原先（解六顶点模型）的方法解决，不过我发现用这第二个方法可以将它解决。
Q：这与 Yang-Baxter* 关系相关吗？
A： Yang-Baxter 关系就是令矩阵交换的条件。你看！我这五个月假期多有意义！我想说的是，一直思考，研究工作并不必然会有进展。我们回到堪培拉后，我继续八顶点模型方面的工作，很快的，杨振宁邀请我到 Stony Brook 访问，在 1972 和 1980 我两度到那里，与 Barry McCoy 以及他的同僚们一起工作。1980年有另一个挑战，杨振宁的弟弟杨振平，写了篇文章，关于余熵（residual entropy），他估计的结果是 ，很自然的他推测也许是 。
Q：他使用什么方法？
A：一些简单的数值方法，我要我的学生 Shiu-Kuen Tsang 以转角转换矩阵来计算这个值（corner transfer matriax），很快得到十二位的准确值 0.333216949… ，并不是 1/3 ，故事还没完，我很仔细地审视她的电脑结果，体认到转换矩阵的特征值，它们某些自然的乘积组合在初次逼近时是 0.999 ，第二次逼近是 0.999999 ，第三次是 0.999999999… ，我估计它大约是 1 ，这是基于低温展开结果所做的推测，不过看起来它却很像就是 1 ，如同在八顶点模型的情形。这意味着可能可以完全解这个模型，而我也的确这么做了，导出 Yang-Baxter 关系的另一个应用：Rogers-Ramanujan 等式，这是 Rogers 在 1894 年证明的等式，35 年后重新为 Ramanujan 发现，这个等式很自然的出现在 hard-hexagon 模型，当时是我自已证明了这个等式，拿给国立澳洲大学的同事 Kurt Mahler 看，他是数论专家，他马上告诉我这是 Rogers-Ramanujan 等式，我在计算中有十六个左右这类的等式。所以我就写信给所有可能帮助我了解这些等式的朋友，我从 Michael Hirschhorn 和其他朋友处得到有助益的回音，其中以在宾州州立大学（Penn State）的 George Andrews 为最，他回信告诉我，我那十六个等式可以如何由 Ramanujan，Watson，Slater 及 Birch 等的论文中推导出来，几年后他和家人到堪培拉来做为期六个月的休假 （Sabbatical），我们一起工作因此而得到 Andrews-Baxter-Forrester 模型，实际上他提出来 hard-hexagon 模型是一个 2-state 模型而 Rogers-Ramanujan 等式可理解为一个 2-state 等式。这等式可以推广到 k-state ，而与周期为 2k+1 的等式有关，所以 Rogers-Ramanjan 等式是所有关于周期为 5 的模函数（modular function），而下一个将是周期为 7 的 3-state 等式。问题是：是否有一个 3-state 的格子（lattice）与这些等式相关？我起初的反应是这是有了“解”去找“问题”，不过 Andrews 的观点完全正确。我们在 Andrews-Baxter-Forrester 模型中找到的不完全如此，它实际上是后来同时由我们及 Miki Wadati 发现的，不过我们找到另一个模型，有类似的等式，发展成十足的企业，制造玻色与费米（bosonic and fermionic）等式，solid on solid 模型等。接下来就是我研究、探讨了一段时间，在昨天和今天演讲中提到的 chiral * Potts model 我想这个工作大概持续了有二十年之久，但是仍然有我们不知道的事情。有一个关于 order 参数的猜想，这个吸引人的猜想用尽我们以往所有的技巧仍然毫无突破。
Q：在你研究的早期，你好像喜欢这些定义明确的问题，再尝试用数学方法来解决。
A：这是一种挑战，像杨桭平推测熵可能是 1/3 ，在那时我对这个说法抱着疑问，因为它与其他有明确结果的格子模型 （lattice models）不同。厘清这个问题的对错就是一个挑战，结果这个猜测是错的，但是，这个模型却是可解的！通常如果你是从事寻找确切解的工作，假如有人告诉你或向你建议（或提示）：也许这个模型是有趣的，或许是可解的，这将颇有帮助，那么什么是可解？比方说，在墨尔本 Tony Guttmann 会告诉你在磁场中 Ising 模型的 free energy 一定在复数平面上有个自然的边界，而且一定不可能是某种形式的微分方程的解，这些无疑是正确的，但这表示你不能找到明确的解吗？过去没有找到（解），不过如何能说未来就一定没有？
Q：你是什么时候决定写书的？
A：这本书是 82 年出版的，大约是 1979 年开始动手。
Q：是你自已一个人完成的吗？
A：是的。
Q：我猜想是你的课程讲义的一部份。
A：确实，我用其中一部份做为教学之用。
Q：所以你认为什么是你最好工作？八顶点模型和 hard-haxagon 吗？
A：是的，然后是转角转换矩阵（corner transfer matrices）。这个想法是经长时间演变来的，先是从有关 dimer-monomer 系统数值逼近的工作开始，直到我 1975 年访问 Edinburgh 时才成形。把他们应用于八顶点的模型，发现它们具有很美的性质。
Q：所以你与数学家有比较多的互动吗？
A：数学家和物理学家二者都有。
Q：你认为一般来说，什么是可积模型和统计力学的领域中，最重要或者吸引人的问题？
A：这是很好也很有想法的问题，嗯
Q： Chiral Potts 模型吗？
A：可能，我最近在检视随机格子的二色多项式 （dichromatic polynomial），重温我早先和 Ian Enting 一起做的普通的 Potts 模型。在 70 年代初期，加拿大滑铁卢的数学家及密码破解专家 William Tutte 曾写下随机曲线图的二色多项式。看来与现在统计力学理论中有关随机格子上的随机模型的工作有关。我应该在 15 年前就着手，那么我大概可以预期某些这类的工作了！至于其他方面，我又重新回到 Bethe Ansatz，探讨它是否完备（complete）的问题。这是个古老的问题，最近又被重新提起。我确信它是完备的，也就是说，它给出转换矩阵所有的本征向量。如果本征值是退化的则它们不唯一——这反映在这个 Ansatz 上，我曾写了篇文章申明我的观点。讨论问题的麻烦在于你可能花了数月的准备提出一个论述，甚至还有证明，到头来却可能为人忽视。有时问题可能只在于“用辞”（或术语）（terminology），但正确的术语是很重要的 --- 如果你想要开车穿越平交道，人家告诉你栅门是开的，这时知道“门”是为你开的还是为火车开的可是生死交关的事。
Q：我把这样的情形形容为 “民主” 的情况，也就是在这个领域里每个人有不同的看法，而不是有一个每个人都想要解决的大问题。
A：大致是如此，不过研究可解模型通常是很精确的。它们很有趣，因为你真的能解这个模型：也就是得到一个确切的解，它们也许有复杂的临界性质，有连续相变，三临界相变 （tricritical phase transition）等。通常这些模型是某些一般模型的特例，知道他们能有什么性质是非常有意义的。有一个我常举的例子是 Ising* 模型，人们都很喜欢以磁场去解二维的 Ising 模型，但是我们只在零场找到解，不过这还是极为重要，因为解包括了临界点，所以能告诉你临界点的位置，至少还给你临界行为的一些信息，而能了解尺度域中 （scaling region）整个尺度函数（scaling function）也是很好的。在离开临界点的地方，你很容易就由数值逼近得到十二位数的准确度。
Q：你认为 3 维的 Ising 模型是一个有趣的问题吗？
A：当然，不过我不知道如何解它！哈！
Q：可积模型中的大多数技巧好像都限定在 2 维。
A：是有一些由 Zamolodchihov 发现的 3 维的模型，但它们的 Boltzmann 权（weights）是负的所以至少由统计力学的观点它们不是自然的（unphysical）。看起来那些模型其实是临界的，而且在有限层（finite number of layers）的情形，也是临界的，所以如果你增加层的数目，还是保持临界的状态。这意味着它决不是一个典型的模型，而我们希望的是有个三维的典型的模型（typical model）。下面纯属臆测——且是大胆猜想：1 维时在任何温度下一个场中的 Ising 模型都可解，2 维时任何温度就只能在零场可解。你可能会猜想 3 维时，在零场中可能在临界温度有解，也就是临界点，即使是这样仍然是很有趣，但是我不知道怎么去做。
Q：你的研究是否在数学以外的其他领域发生意想不到的影响？
A：哦，我认为除了数学外在某些领域的确是有些联带影响，如相变理论和临界现象。有些保角场专家喜欢在可解模型下来测试他们的想法，另外像结理论也要用许多这方面的技巧，包括 Yang-Baxter 关系，当然还有量子群。
Q：你是否参与结理论方面的研究？
A：我只是涉猎。
Q：你认为 Yang-Baxter 关系之后，在可积模型的领域中最有趣或者最重要的发展是什么？
A：一个难回答的问题——我后续发现了转角转换矩阵，很有用而且有许多让人惊叹的性质，但这些性质本身都仰仗 Yang-Baxter 关系。
Q：在你的学术生涯中有任何遗憾吗？
A：没有，没有。
Q：如果你有其他机会做你要作的领域，你想做什么？
A：我有许多我想要作的事情，不一定是物理，我不想一直做相同的事。
Q：你有多少研究生？
A：现在没有。
Q：过去呢？
A：不多，Shui-Kuen Tsang 是其中一个，她是我的第一个研究生，来自香港，现在在堪培拉做电脑方面的工作做得很好，另外是 Peter Forrester 他是我最好的学生之一，还有 Aleks Owczarek 和一些其他人。
Q：当他们决定主修这个领域时，你对他们有什么建议？
A：哦，一般来说我很密切指导我的学生，除了 Aleks Owczarek，因为他当我的研究生时，我正好动冠状动脉绕道的手术。Peter Forrester 不需要我什么指导，他在大学时已经至少写过一篇文章。我必需说我一般认为你指导的越少，学生越好。
Q：不过你刚刚是说你想和他们密切的工作。
A：开始时我是如此。
Q：所以你实际上是和他们一起工作吗？
A：是的，我应该这么做并且我也尽力这么做，但是我不是那么肯定这是否是必要的或者他们会希望这样，也许给他们更多自由去做他们想要做的，他们可以做得更好也不一定。
Q：但是，一般来说你会找一些问题让他们解决。
A：是的。
Q：你对这个领域感兴趣的年轻学生有任何建议吗？
A：做你们感兴趣的事。花一辈子时间从事一件事，到头来却觉得无聊是很槽糕的。如果你对某事确实感兴趣，就努力去做吧。如果你对可积模型有兴趣，就要让自己准备好去用很难而艰深的数学。我想有些物理学家认为数学只是积分的工具，如果你这样想的话，在可积模型这个领域你可走不下去哟。
Q：访问到此结束，谢谢您。
补充说明：
（冯明光——国立台湾师范大学物理系教授）
注：本文策划刘太平先生为中央研究院数学所所长，高涌泉先生任教于国立台湾大学物理系。整理詹传宗、林丰利先生当时为台湾大学物理系博士后研究员。
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