张广厚：学习数学的几点体会
张广厚：学习数学的几点体会文章转载自微信公众号：和乐数学
作者：张广厚
张广厚简介
著名数学家、中国科学院数学研究所原研究员。
1937 年 1 月 22 日生于河北省唐山市。先后在唐山市新生中学和第十一中学学习。1956 年以优异成绩考入北京大学数学系，受到庄圻泰教授的多方培养，成绩优异。1962 年毕业后考取了中国科学院数学研究所熊庆来教授的研究生。1967 年留数学所工作，1977 年提升为副研究员，1978 年加入中国共产党。1979 年由于他在函数论方面的深刻造诣，被提升为研究员，他从做研究生时起，一直从事整函数和亚纯函数理论的研究工作，取得了重要成果，先后发表论文十余篇。他的论文《整函数与亚纯函教的亏值，渐近值和茹利雅方向的关系的研究》受到国内外著名数学家的高度评价。在《整函数和亚纯函数的渐近值》和《关于整函数的渐近路径的长度》论文中，解答了 1964 年和 1973 年两次国际函数论会议上提出的有关渐近值方面的五个问题，得到英国函数论专家海曼教授的赞赏，他认为“这是惊人的结果”。
1965 年至 1977 年张广厚和杨乐共同发表了八篇重要论文，在解析函数族正规性涉及重值、亏值、渐近值、波莱耳方向等方面得出了许多创造性的结果，开辟了新的研究方向。国外数学家称他们的研究成果为“杨-张定理”、“杨-张不等式”。他俩合作的《整函数和亚纯函数的值分布理论》获得 1978 年全国科学大会奖励，1982 年又获得我国自然科学二等奖。1983 年被党中央任命为全国科协书记处书记、党组成员；1987 年张广厚英年早逝，享年 50 岁。
杨乐与张广厚（左）
正文
西安是座文明古城，是古文化的中心，我到西安来非常高兴。我怀着崇敬的心情参观了昭陵，秦始皇兵马俑，半坡村文化遗址。这些灿烂辉煌的文化，是我们祖国的骄傲。今天到会的都是老师，有的是中学老师，有的是大学的青年教师。教师这个职务是神圣的，是人类灵魂的工程师，要培养出一代科学家、工程师，在很大程度上取决于教师。所以我在教育部召开的一次座谈会上曾提出了两条意见，第一应当多办些师范院校，培养出更多的好教师；第二是编写一些好教材。我自己对老师是很尊敬的，包括我的小学的、中学的、大学的老师。教师岗位应当引起整个社会的尊敬。今天大家要我谈谈我个人成长的道路。我的确没有什么好谈的，我也很少谈这个问题。
我的成长过程，首先应归功于党对我的培养和教育。第二是教师在我身上花的心血，这里边有小学的教师、中学的、大学的教师。第三才是个人的努力。
现在我谈这三个问题。首先，我能成为一个数学家，是党和人民对自己的培养，现在好象人们不太谈这个问题了，但对我来说确实是如此。我的父亲是开滦煤矿的一个工人，家里只有三块薄沙地，大约有四、五亩。我兄弟五人，还有一个妹妹，加上我母亲，还要负担祖父一部分生活费。这种经济情况，在旧社会当然是很困难的，做梦也不会想到自己会当一个数学家的，现在有许多记者问我是如何从小立志当一个数学家的，我每次都使他们失望。“我小时最大的理想是将来能不作井下的挖煤工人。而能做一个有技术的工人。”解放后，才有了上初中的条件，打算初中毕业后能上技校就满足了，初中毕业后才希望将来能上大学。所以考了高中而没有考技校。到高中后，我想，假若党不让我搞别的我就搞数学工作。考入北大数学系后，才算专心致志踏踏实实地搞数学，做了一个数学工作者。的确，我现在能成为一个数学家，正是党对自己长期的培养和教育。我认为：努力学习、刻苦钻研作出一定的贡献，是自己对党应尽的责任和义务。长期以来，自己从事科研工作之所以能不怕困难和挫折、一直很努力，作出了一些成就，动力之一就是党对自己多年的培养和教育。
第二是老师们的心血。我前边说了，我小时，家里是那样一种环境，自己也比较淘气，功课学的并不太好。解放那年，我刚好小学毕业，考初中时，出了七道算术题，只作了三道，其中一道还是我猜出了得数，给了一个验证，当然不能算对，这样我就落榜了。引起我数学兴趣的恰好是我小学的老师。说起来很滑稽，考不上初中就回家种地。过了三个月家里让我到原来上学的小学上补习班，回校的第一天赶上考数学，说来也怪有趣的，我考了一百分，第二天老师在课堂上表扬了我，还让大家向我学习。“高帽子”一戴自己很得意，也增强了我的信心，另外，自己没有考上学校总觉的不光彩，从此我和我的几个同学，起早贪黑，真正下了狠功夫。我们的算术老师，确实是很有水平，算术题出的非常之好，三个月后，我的算术就打下了一个很好的底子，解题的能力很高，解一般难题都不成问题。所以我说老师对学生还是要以表扬为主。这是我的小学老师。上高中后，我遇到一个很好的数学老师，他教育我的路子很对，帮助我在宽的方面打基础,他对我进行个别辅导，辅导我学习《范氏大代数》中中学课本不讲的内容，给我打下了很好的中学数学基础，提供了上大学的条件。
到了北大，后来作熊庆来先生的研究生，有幸亲受熊先生教诲。熊先生是我国数学界的老前辈，79 年去世。华罗庚老师、严济慈老师等许多有成就的科学家都与他有师生之谊。上研究生第二年，我写了一篇论文，题目是“关于公共 Borel 方向”。自己很得意，也急于求成很快发表，写了个文稿交熊先生审查。熊先生在前两页改了几个字让我拿回去再看看，我拿回来又急急忙忙抄了一遍送给他，过了几天熊先生又是只改了两页让我拿回去仔细看看。我有点恼火，但是对老师也没有办法，还是重抄了一遍送给他，往返三次我想不对劲，原来是自己治学态度不严肃，不认真。此后，我所有稿件的每句话都是经过仔细修改，写的也很工整，抄好后再让熊先生看，熊先生培养了我严谨的治学精神。有一次，记者访问我，看见我文稿的字迹很工整，每个字都是一笔一划的写，他说，你这稿子像刻的一样，我说这是严格训练的结果。现在外地有许多同志向数学所寄稿件来，字迹很潦草，有的还附上一句话，说他很忙，字迹潦草希见谅。这些同志就不想想审稿人的时间，同样是很宝贵的。说实在的，审稿人看你字迹潦草就不愿给你看了。再比如，庄圻泰先生在我身上花的心血就更多了。庄先生有一次给我审一篇稿子从早晨八点半直到下午一点半，师母一再催我们吃饭也没停。庄先生当时已是 68 岁高龄了，用了这么长的时间为我审稿，许多稿子都是审两三遍，老先生在自己身上花了那么多的精力和心血，真使人感动。我四十多岁了，也搞了二十多年数学，可以说有些数学知识比我的中、小学的老师知道的还多一些，但是我还是很尊敬我的老师。今天到会的老师很多。我对大家由衷的起敬。
个人成长的第三个因素当然是自己的努力。许多记者访问我,希望我能谈出如何从小立志，能讲出自己多么有才能，多么与众不同，给他描绘出一个动人的过程。但是我的回答总是不能使他们满意。我的生活并没有太动人的情节，而是很平淡的，很清苦的，自己记忆最深的东西往往是失败和挫折，但正是这多次的失败和挫折才使自己达到成功或者说接近成功。陈景润同志是著名的数学家，他的生活也不是想象的那么轰轰烈烈，而是坚强的毅力、刻苦的劳动、多次的失败和挫折。作为一个科学家，要全面发展、全面成长，首先需要一个好的思想基础。要立志，要有一个远大的理想和抱负，养成从小爱科学，对他走科学道路很有必要。我在高中时，政治上是团支委，学习上是拔尖的，就产生了骄傲情绪，上了北大那是硬碰硬，北大数学系集中了全国的数学尖子，北京市数学竞赛的前几名都在北大，自己在班上学习是全优，思想上往往产生了不健康的东西干扰自己学习。一个人要经得起胜利也要经得起失败和挫折，不然就学不好数学或者其它科学，有些人满脑子里整天家、家、家反而成不了家，应当把主要精力放在艰苦的劳动中去。
前几年我到科大去，和少年班的孩子们见见面，也讲了几句话，一方面对他们进行了鼓励，同时也向他们讲了要有一个比较好的索质，就是说要经得起吹捧和失败的考验，不然，很难说会有什么发展。没有一个好的思想基础，能不能有成就值得怀疑。比如说，人们可能会想，陈景润、杨乐、张广厚有成就是因为条件优越。其实不然，陈住六平方米房子是全国闻名的，而他的六平方米在数学所来说也许是最好的，因为他自己住一个屋也没别人干扰。杨乐有两个孩子，四口人住十六平方米，一张方桌，每天晚上到八、九点先熄灯，让孩子们睡觉，过半小时后等孩子们睡实了再开灯工作。我们的办公室有十六平方米，放了六张桌子。我比他们更差，原来我家住在德胜门外一个荒僻的地方，我上班每天要骑三十五分钟自行车，我爱人在城里上班，两个孩子得我照管，我经常把孩子先托给一个七岁的小孩照管，我到所里报个到。我们的支部书记知道我的困难，让我可以在家办公。邻居中有与我情况相同的，看我在家，还托我给他们代管孩子。打倒“四人帮”后，孩子们要念书了，一个三斗桌，两个孩子一人占一边，我爱人在缝纫机上工作，我坐个马扎在床板上工作，我的五万字的论文就是在这样的工作条件下写出来的。去年所里给我和杨乐解决了住房问题，我一家四口人住了二十九平方米的一套。这是因为我二人出了点名占了便宜。当然数学所的资料比别处多一些、全一些。生活条件就是如此，在这样的条件下，能不能坚持搞科学研究，这是需要一定的思想认识基础的。
一个人条件好作出的成绩，不算什么，主要是在困难条件下，有一个好的思想基础，坚持搞科研作出成绩来。另外，搞科研，想当一个数学家或者其它科学家，需要有较好的素质。基本的素质之一是不怕困难，在科研中，一般讲困难与成就是成正比的。有困难才能有成就，有大困难才能有大成就。一定要养成不怕困难，或者说喜欢困难，而且，遇见困难能咬住不放，搞科研需要咬住困难不放。比如杨乐和我，报纸上说我二人发现了“奇异方向与亏值的联系”，1973 年在《中国科学》上发表的我们的文章：《亚纯函数的波莱耳方向的分布》，当时加了一个条件，在亏值条件下可以得到奇异方向分布的规律。传统的认识亏值这个条件是人为的。我俩想用一切办法取掉这个条件，仍然得到个结论。为这个问题，我们几乎花了一年时间，整天泡在这个问题上，用尽办法就是过不去，拿不掉。但是，我二人下决心一定要拿掉它，每次都失败，在失败中我们有了新的认识，换了个提法，它们的依赖关系便出现了，问题终于解决了。若是没有坚定的毅力，没有咬住困难不放的决心，就不能达到成功。有人问成功有没有灵感？我说有灵感，但灵感是长期艰苦劳动积累的结果。没有长期的积累就没有灵感。拿成就来说，失败在我一生中占的比例很大。没有多次的失败就达不到成功。只有不怕困难、咬住困难不放的人才能达到成功。往往是在特别困难的时候坚持下去就是“柳暗花明又一村”了。
另外，身体也很重要。我小时，家庭经济比较困难，营养差，身体一直不好，许多人担心我上大学上不下来。一年级时，班上人才济济，狠命干了一年，成绩虽然全优，但暑假整整在家躺了一个月。大家劝我不能这样干，不然犯了心脏病就不得了。二年级增强了身体的锻炼，三年级当了文体委员，若不是加强身体的锻炼，很难预料今天的情况。
业务问题就是智育问题，主要是由于长期的刻苦的劳动。我参观昭陵时，几个孩子围着要看张广厚，一个老人对我说，你就是张广厚，让我看看你的脑袋是怎么长的?!我说，聪明人是有的，但是光靠聪明是不行的，主要是靠后天的努力，而且聪明也是后天培养的。杨乐有一次骑的自行车坏了，在修车铺借了工具自己修，半天修不好，修车师傅说：“你怎么这么笨呢？”他拿住工具一下就修好了。所以说才能是后天的，聪明与不聪明也是相对的。我小时也是一样，学习成绩不好，后来真正用了功就不一样了。到高中，我的数学没有考过 99 分，都是 100 分。有才能的人不是都可以作出很好的成绩来的，最主要的还是长期勤奋的，刻苦的学习。陈景润同志的刻苦精神给我留下深刻印象，他每天工作量很大，邓副主席说他七天七夜搞科研，除了必要的休息，这样说也不过分。并且十年如一日，二十多年如一日。真了不起。前年国庆节报纸上登了陈景润、杨乐和我三人游园的照片，我们三个人从来没游过园，领导上让去这次就去了，八点多到那，录了音，照了张像，陈景润就提出他要走了，接着杨乐也走了，只有我游了一个多钟头，因我带了两个孩子去了，他们不让回。再讲一个杨乐的故事，唐山地震时，北京震得也很厉害，大家都住在防震棚里，楼委让杨乐出来，杨也只好出来，但是半夜两点钟几个小孩发现一层楼有灯，爬到窗户上一看，是杨乐在那里看书，说明成功是靠花大量的心血和刻苦的劳动得来的，不是聪明能够代替的，段学复(北大数学系系主任)先生有一次和我说：“人人都知道华老天分很高，却不了解他是多么用功，他每天工作学习至少都在十个小时以上(指在西南联大时期)。”业务学习也有一个方法问题，得法不得法的问题。但是，更需要一定的思想认识和素质，不在素质上全面成长，要当工程师、科学家永远是个梦。
关于学习方法问题。任何方法都是建立在一定的思想基础上。常常有人问我怎样才能保证自己当一名科学家,有没有灵丹妙药?我说任何人也开不出这样一个药方来。方法是因人而异。但是学习还是有一定的规律性的，有一定的共性。应该注意那些问题呢？
首先，在开头要狠下功夫，要尽量放慢一些。我在念一本新书时，开头我特别下功夫，因为开头都是基础的东西，基础的东西往往是容易接受却较难理解，特别是高等数学是这样。和打仗一样，开头下了功夫争取了主动权。中学学习也是一样，开头简单，自己认为懂了，实际没懂，不下功夫，过两三个月就吃力了。要入门，就要在开头下功夫，我觉得开头的基础要搞扎实。要下狠功夫，要慢一点，人家一个钟头解决一个问题，我用两个钟头，但到后来，别人解一个题需一小时，我却在半小时解出来了。现在中学生负担过重，靠压力培养不出人才，充其量培养个中等人才。小学生的负担也很重，整天应付考试。当前学生还有一个毛病，就是花功夫作难题。这次高考，理科的数学题出的好，都是基础的东西。许多重点学校只注意引导学生作难题、偏题吃了亏。基础一定要打好，基础概念要搞清。
我的孩子考数学，老师出了一道题，其他同学作出 (sinx)^2 = -3 ，结论是无解，他做成了 (sinx)^2 = +3 ，却说有解，我告诉他不对。就是 (sinx)^2 = +3 ，也是无解，因 sinx 最大值是 1 。不注意基础训练是不行的。我和杨乐都是这个意见，不同意引导学生搞偏题、难题。对基础好的人应当适当作一些难题，但是基础打不好作难题也没有用，要着重于基础训练。难题和容易的题是相对的，基础好难题也就不难了，基础不好解容易的题也很吃力，所以开头要狠下功夫，打好基础非常重要。
有了好的基础就要循序渐进。学习没有别的办法就是要循序渐进。很多人缺乏循序渐进这个过程。陈景润同志搞的哥德巴赫猜想，出了大名，很多人都搞起哥德巴赫猜想。数学所每天都收到大量的信件和来稿，都说他们解决了哥德巴赫猜想。哥德巴赫问题是一个非常困难的问题，没有很好的数学训练是不行的，过早的进入是浪费精力，没有很严格的数学训练，没有很好的造诣是过不去的。陈景润同志搞了二十年，就算你有才能，没有十年、八年的苦功夫是谈不上这个问题的。再如三等分角问题：华老大约在 1956 年前后就曾为此写过文章，但至今还有人在浪费精力。一个我的熟人拿一份三等分角的稿件让我审査，我说不要看了，这是不可能的，华老曾为此写过文章了。后来，写稿人给我一封信，说他从来就不相信权威！我说不相信权威可以，但不能不相信科学，科学的问题是来不得半点虚假的，所以我说要循序渐进。在座的有许多中学老师，我的意见要教育学生不要浪费精力，一步一个脚印的走下去，前途是无量的。中国要搞“四化”需要大量的人才，需要从现在的中小学培养大量的人才，在中学时一定要打好基础。要循序渐进，这是一个总原则。
第三注意阶段复习。 现在学生为应付考试而复习。考试是学习不可缺少的环节。引导学生系统的学习，培养学生逻辑思维的能力，阶段复习是必要的。中学教育要加强基础训练。会作难题不算太大本事，说数学水平高，什么是数学水平高呢?我认为自己知道自己作的题是错是对，不用老师判断，自己会判断就是有点数学水平。
学风问题。要培养好的学风，好学风的第一条是精力集中。该玩就玩，该工作就很好的工作，不要又作功课又在玩，适当的娱乐活动是需要的，但干完别的要能很快转到学习上来。我自己是可以很快的“进入情况”。我认为学好中学数学要抓住三个过程：练准:一个题我两个钟头算出来对了，你十分钟算出来但是错了有什么用？还是要算对。二要练快、练速度。一个题九分钟可以算完，绝不能拖到十分钟，一分钟也不拖。最后要练习工整，这个工整不但要书写工整而且包括逻辑过程不多也不少。干工作精力要集中，精力不集中，什么也搞不成，要保证一定的工作效率。
再就是要独立思考。我主张不要轻易问人，经过自己充分考虑以后再问人。问人的结果与自己独立思考的效果不一样。我自己是不轻易问人的，对问题我总是一天、二天、三天的靠自己钻研,要培养这种精神。大学生也要这样，订一个好的规划，要坚持搞，主要在坚持。看参考书要慎重选择，选一本为好。我在大学就是选一本念透，其他书也容易理解了，浏览一下就够了，今天到会的有中学老师，教育中学生学好外语很重要，以后我们的国际交往会越来越多，我们要学习外国先进的科学技术，在中学打好外语基础是必要的。
我今天拉杂讲这么多，可能有不对的地方，请大家批评指正。
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