取石子问题
有三堆石子，数量分别为18,20,36，两个人轮流取石一次，每次从任意一堆石子中，至少取走1颗，谁取到最后的一颗石子为输，请指定一个取胜策略。 三）尼姆博奕（Nimm Game）：有三堆各若干个物品，两个人轮流从某一堆取任意多的物品，规定每次至少取一个，多者不限，最后取光者得胜。 这种情况最有意思，它与二进制有密切关系，我们用（a，b，c）表示某种局势，首先（0，0，0）显然是奇异局势，无论谁面对奇异局势，都必然失败。第二种奇异局势是（0，n，n），只要与对手拿走一样多的物品，最后都将导致（0，0，0）。仔细分析一下，（1，2，3）也是奇异局势，无论对手如何拿，接下来都可以变为（0，n，n）的情形。 计算机算法里面有一种叫做按位模2加，也叫做异或的运算，我们用符号（+）表示这种运算。这种运算和一般加法不同的一点是1+1=0。先看（1，2，3）的按位模2加的结果：1 =二进制01 2 =二进制10 3 =二进制11 （+） ——————— 0 =二进制00 （注意不进位） 对于奇异局势（0，n，n）也一样，结果也是0。 任何奇异局势（a，b，c）都有a（+）b（+）c =0。如果我们面对的是一个非奇异局势（a，b，c），要如何变为奇异局势呢？假设 a < b< c,我们只要将 c变为 a（+）b,即可,因为有如下的运算结果: a（+）b（+）(a（+）b)=(a（+）a)（+）(b（+）b)=0（+）0=0。要将c 变为a（+）b，只要从 c中减去 c-（a（+）b）即可。 例1。（14，21，39），14（+）21=27，39-27=12，所以从39中拿走12个物体即可达到奇异局势（14，21，27）。 例2。（55，81，121），55（+）81=102，121-102=19，所以从121中拿走19个物品就形成了奇异局势（55，81，102）。 例3。（29，45，58），29（+）45=48，58-48=10，从58中拿走10个，变为（29，45，48）。 例4。我们来实际进行一盘比赛看看： 甲:(7,8,9)->(1,8,9)奇异局势 乙:(1,8,9)->(1,8,4) 甲:(1,8,4)->(1,5,4)奇异局势 乙:(1,5,4)->(1,4,4) 甲:(1,4,4)->(0,4,4)奇异局势 乙:(0,4,4)->(0,4,2) 甲:(0.4,2)->(0,2,2)奇异局势 乙:(0,2,2)->(0,2,1) 甲:(0,2,1)->(0,1,1)奇异局势 乙:(0,1,1)->(0,1,0) 甲:(0,1,0)->(0,0,0)奇异局势 甲胜。
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