标准分析中的“无穷次”运算
标准分析中的形式表达式必须是有释义的合式公式．例如 \(0.1=\large\frac{1}{10}\),\(\displaystyle\sum_{n=1}^{m+1} a_n=\big(\sum_{n=1}^m a_n\big)+a_{m+1},\;\prod_{n=1}^{m+1}r_n=\big(\prod_{n=1}^{m}r_n\big)\times r_{m+1}.\) 但"无穷次运算",
如 \(\displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n,\;\prod_{n=1}^{\infty}r_n\) 等是无法用上述递归方法定义的. 否则会进入循环定义.
所以它们必须被视为能吸收无穷序列的分析运算即有限运算的极限
\(\displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n:=\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n a_k,\;\;\prod_{n=1}^\infty r_n=\lim_{n\to\infty}\prod_{k=1}^n r_k\).这里收敛不是无条件的。
注意极限不涉及”无穷次”操作．其合理性表现为按此定义下式成立：
\(\displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n=\sum_{n=1}^m a_n+\sum_{n=m+1}^\infty a_n,\;\;\prod_{n=1}^\infty a_n=\prod_{n=1}^m a_n\times\prod_{n=m+1}^\infty a_n\;\;(\forall m\in\mathbb{N})\)
类似的定义在非标准分析中仍为必须．尽管两个系统对极限的定义有所不同。
标准分析作为一个形式系统的严密性, 不是老中青混混们可以想象的．
把数学的 【Formalism 】望文生义成中文语境下的【形式主义】特别搞笑． jzkyllcjl 估计连论题都看不懂．APB先生也不乐观．
楼主所谓的标准分析，是不标准的：
例1， n 趋于无穷后，n 就是无穷大整数，其中包含：无穷大奇数、无穷大偶数、无穷大素数、无穷大合数、等等；不见楼主所谓的标准分析承认这些无穷数。
例 2 ，不见楼主所谓的标准分析认识万物（含实数）的可数性。
本帖最后由 elim 于 2021-3-28 10:04 编辑
标准分析是人类数学分析的一个特定系统，不会因为谁没有这方面教养，
或者篡改极限 定义等可以曲解的．
APB先生不妨也分析一下自己的论说被人类数学无视的必然性？ 宇宙有 100 多亿年的历史，人类的寿命不过百年，人类数学的未知领域是无限大的，无人能懂的。elim 先生所谓的标准分析远远达不到真正的标准，连实数可不可数都没有个标准，更别提无限数了；elim 先生是永远代表不了人类数学的，也代表不了标准分析，最好不要总是否定别人。 APB 先生其实没有人类数学所称的标准分析的概念。出于无知东西只能是白忙。 jzkyllcjl 的\(\displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n\) 为无穷次相加的胡扯可以休亦. 谢芝灵的 \(\pi\) 不可构造说，本质上也出于他对人类数学标准分析的极限概念的无知。 elim 发表于 2021-4-2 04:35
jzkyllcjl 的\(\displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n\) 为无穷次相加的胡扯可以休亦.
elum网友; 第一， 你在1楼的叙述我不反对。那个叙述说明了无穷加法无法进行，无穷级数和不是无穷次加法，而是计算出前n和的通项表达式后求其趋向性极限值。这个计算过程不是无限次运算。这个极限值具有不可达到性。例如：无尽循环小数0.999……，0.333…… 都不是无穷次加法得到的定数，而是无穷数列0.9，0.99，0.999，……；03，0.33，0.333，两个无穷数列的简写，它两的极限才是定数 1与1/3.
第二，如果你坚持无穷次加法运算可以进行，无穷加法得到无尽循环小数等于定数，那你就是形式主义者。 老学渣的“这个极限值具有不可达到性”是什么意思？怎么定义达到？
你胡扯的无尽小数概念跟标准分析没有关系，因此被人类数学抛弃，你应该分析一下你被抛弃的必然性。
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