实数集可数定理
本帖最后由 谢芝灵 于 2021-3-19 01:27 编辑这个证明很妙。
用了人类主流认可的（0，1）与（1，2）之间的实数一样多 原理。
其实质包含了反证法：假设 （0，1）与（1，2）之间的“各自无穷个实数”一样多。
最后得到 0可数。所以所有实数可数。
康托的对角线证明法有很多逻辑漏洞。
一、无穷自然数集1,2,3,4,...n... 是无穷的。后面可任意延伸:1,2,3,4,...n,n+1...k,k+1....
康托取了：a1,a2,a3,...an,与之对应的：1,2,3,4,...n，他又造出一个新数a（n+1），自然数当然也可对应为1,2,3,4,...n,n+1。照样可数。
二、康托的明明设定了所有实数排列为a1,a2,a3,...an。他又能多造出一个新数，所以他之前的设定和排列a1,a2,a3,...an肯定错误。错误有两个：把非数当数进行排列；把不能化为“阿拉数的实数”强行用阿拉数符号。 谢芝灵 发表于 2021-3-19 09:21
这个证明很妙。
用了人类主流认可的（0，1）与（1，2）之间的实数一样多 原理。
其实质包含了反证法：假 ...
感谢灵芝的夸奖！确实，康托尔的实数集不可数定理和对角线法漏洞百出。
谢芝灵 与APB 二位网友：第一，我同意无尽小数不是实数的说法，但无尽小数作为康托尔基本数列的简写是可以的，因此可以提出无尽小数趋向于实数，但达不到定数的关系。
第二，无穷集合的元素个数都是非正常实数+∞的非正常集合，无穷集合之间的“一一对应操作进行不到底，不能使用这个方法说与自然数集合以一堆用的无穷集合是可数集合”虽然康托尔证明不可数是错误的，但只有有穷集合的元素个数是可数的集合，它们的元素个数可以用自然数标出。一切无穷集合都不是可数的集合。
第三，把看做与无尽小数一一对应的无穷点集合时，它是不可数集合。但无尽小数是算不到底的无穷数列，它不能被看作定数。使用时需要取足够多位的有尽位十进小数近似表示中的无尽小数，例如米尺的最小刻划不大于十分之一毫米，使用五位十进小数表示中各个不同点就可以了，这时中的不同点对应的数字个数只有10的5次幂那么多，这个集合是可数集合。研究数学理论需要结合实践。 jzkyllcjl 发表于 2021-3-28 09:40
谢芝灵 与APB 二位网友：第一，我同意无尽小数不是实数的说法，但无尽小数作为康托尔基本数列的简写是可以 ...
jzkyllcjl ;
我不同意您的 “无尽小数不是实数的说法”；我认为：无尽小数也是实数。
无尽小数具有永远算不到底、写不到底的性质，因此它们都不是定数，所以也不是实数。 一个数是不是实数，与它的位数多少无关。