zhangyd2007@soh 发表于 2020-7-30 11:40

磁力数6174揭秘

本帖最后由 zhangyd2007@soh 于 2020-8-3 10:26 编辑

                                                                           磁力数6174揭秘
                                                                                     张彧典

       题目:1955年(一说是1949年),印度数学家卡普耶卡(D.R.Kaprekar)研究了对四位数的一种变换:
任取一个四位数,只要四个数字不全相同,按数字递减顺序排列,构成最大数作为被减数;按数字递增顺序排列,构成最小数作为减数,其差就会得6174;如不是6174,则按上述方法再作减法,至多不过7步就必然得到6174。
       如取四位数5462,按以上方法作运算如下:
      6542-2456=4086 8640-0468=8172
      8721-1278=7443 7443-3447=3996
      9963-3699=6264 6642-2466=4176
      7641-1467=6174
       四位数6174称为“卡普耶卡常数”或“6174黑洞”。美国数学家马丁在20世纪80年代曾研究过此问题 ,因此这项研究在国际数学界又称为“马丁猜想—6174问题”。
       那么,出现6174的结果究竟有什么科学依据呢?
解:设一个任意四位数为M,其最大排列数为M1=abcd,则最小排列数为M2=dcba,因此有a≥b≥c>d,
      因为M1-M2=(1000a+100b+10c+d)-(1000d+100c+10b+a)
                           =999(a-d)+90(b-c),

证明方法一:分析方法。

      假设M1-M2=6174,
         则          6174=999(a-d)+90(b-c)   ---------------------------(1)
         即      999(a-d)= 6174-90(b-c)
         因为   90(b-c)的个位数字为0,
         所以    6174-90(b-c)的个位数字为4,
          而      999(a-d)的个位数字为4,
         因此,    9(a-d) 的个位数字为4,
         即         a-d=6                -----------------------    (2)
         把(2)代入(1),
         可以得到    6174=999X6+90(b-c)
          故         b-c=(6174-5994) / 90
          即         b-c=2            ------------------------   (3)
          当且仅当(2)、(3)同时成立,4个数字之和为9的倍数,
          所以,a=7,b=6,c=4,d=1为最小非0取值时,假设成立。

证明方法二:推导方法。

            因为M1-M2=(1000a+100b+10c+d)-(1000d+100c+10b+a)
                  即M1-M2 =999(a-d)+90(b-c)=9 []111(a-d)+10(b-c)],
               由此可知         a+b+c+d=18(9或27) (即9的倍数)   ----------(1)
                                              a-d>0                              ------------------(2)
                                              b-c>0                              ------------------(3)
                                              c-d>0                            ------------------- (4)
            (1)+(2)得    2a+b+c ≥18                           -----------------(5)
            (1)+(3)得    a+2b+d ≥18                            -----------------(6)
            (1)+(4)得    a+b+2c ≥18                            ------------------(7)
            (4)+(6)得    a+2b+c ≥18                            ------------------(8)
    由(5)、(7)、(8)组成三元不等式组,可以得到
                                             a 、b ≥4                              ------------------(9)
                                             c、d≤4                                  ---------------(10)
       由 (1)、(9)、(10),可以得到

                                 a=7,b=6,c=4,d=1

         把它们代入    M1-M2 =999(a-d)+90(b-c)=6174
                  
      同样步骤,求解(1)中的8或27,无解。


最后回答:    这样的变换最多几次,就可以得到6174呢?
证明:符 合   a+b+c+d=27或18或9) (即9的倍数)
            而且    a≥b≥c≥d (等号不能同时成立) 的四位数从9990到3330,
         一共有 和为27的有12个,和为18的有40个,和为9的有12个,
                     a的取值为3---9,d的取值为0-6,都是7个,
          因此,从理论上可以推断:这样的变换最多7次,就可以得到6174 。
          那么,印度数学家卡普耶卡(D.R.Kaprekar)“这样的变换至多不过7步就必然得到6174”的判断是正确的。
      但是 ,zttmu12320先生在他的《怎么解释6174数学黑洞》指出:最后你总是到达达卡·普拉卡6174的黑洞,到达黑洞需要14步。
          敬请大家讨论。

乐趣数学 发表于 2021-3-16 13:31

9731 就需要8次不信你试试;P;P

Ysu2008 发表于 2021-4-14 21:45

全在这儿了,总计 5040 个数,其中:
操作 1 次的有 288 个
操作 2 次的有 336 个
操作 3 次的有 1440 个
操作 4 次的有 264 个
操作 5 次的有 672 个
操作 6 次的有 456 个
操作 7 次的有 1584 个

列表太长,见附件。



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