本原勾股方程
本帖最后由 蔡家雄 于 2023-3-11 19:27 编辑蔡家雄勾股数公式1
设 n^2=u*v ,且 n>1, u>v, n,u,v 均为正整数，
若 u,v 一奇一偶且互质 及 n有t个不同的质因子，
则 (u-v)^2+(2n)^2=(u+v)^2 有2^(t-1)组本原勾股数。
由公式1，等式两边同时除以4，得
蔡家雄勾股数公式2
设 n^2=u*v ,且 n>2, u>v, n,u,v 均为正整数，
若 u,v 同奇且互质 及 n有t个不同的质因子，
则 n^2+[(u-v)/2]^2=[(u+v)/2]^2 有2^(t-1)组本原勾股数。
等差勾股方程与等和勾股方程及勾股弦方程
等差勾股方程
设 p 的素因子均为 8k -1型 或 8k+1型，
且 a 与 p 互素，
则 a^2+(a+p)^2=c^2 是 本原勾股方程。
若 p 有 t个 不同的素因子，
则 a^2+(a+p)^2=c^2 有 2^t组 通项公式。
求 a^2+(a+p)^2=c^2 的本原勾股数通项公式
设 x, y 为正整数，且 x < y，且 x与y 互素，
求 |y^2 - x^2 - 2*x*y| =p 的最小2^t组 正整数解，
设 xi, yi 表示 每组的最小正整数解，
设 R1=xi, R2=yi,R(n+2)= 2*R(n+1)+Rn, 得2^t组Rn数列
设 v, u 是 Rn 数列中连续的两项，
则 (u^2 - v^2)^2+(2uv)^2= (u^2+v^2)^2
是 两直角边相差p 的本原勾股数。
由 \((y^2 - x^2)^2+(2xy)^2=(y^2+x^2)^2\) ,
设 \(x, y\) 为正整数，且 \(x < y\)，且 \(x与y\) 互素，
求 \(|y^2 - x^2 - 2xy| =2023\) 的 \(2^2\) 组 \(( x , y )\) 的通解公式，
即 两直角边相差 \(2023\) 的本原勾股方程 的通解公式。
\(x, y\) 是 \(A_{n}=\frac{(64 - 5\sqrt2) (1 +\sqrt2)^{n} + (64 + 5\sqrt2)(1 -\sqrt2)^{n}}{4}\) 中连续的两项，
\(x, y\) 是 \(B_{n}=\frac{(88 - 43\sqrt2) (1 +\sqrt2)^{n} + (88 + 43\sqrt2)(1 -\sqrt2)^{n}}{4}\) 中连续的两项，
\(x, y\) 是 \(C_{n}=\frac{(64 + 5\sqrt2) (1 +\sqrt2)^{n} + (64 - 5\sqrt2)(1 -\sqrt2)^{n}}{4}\) 中连续的两项，
\(x, y\) 是 \(D_{n}=\frac{(88 + 43\sqrt2) (1 +\sqrt2)^{n} + (88 - 43\sqrt2)(1 -\sqrt2)^{n}}{4}\) 中连续的两项，
等和勾股方程
设 p 的素因子均为 8k -1型 或 8k+1型，
若 a^2+b^2= c^2，
且 a+b= p ，
若 p 有 t个 不同的素因子，
则 a^2+b^2= c^2 有 2^(t-1)组 本原勾股数。
特例：
若 p 为素数或素数幂，
则 a^2+b^2= c^2 有且仅有1组 本原勾股数。
特殊勾股方程
若 a^2+b^2= c^2，
且 a+b=r^n 及 c=s^n, ( n>=2 )
的 本原勾股数，你能找到吗？
若 a^2+b^2= c^2，
且 a+b=r^2 及 c=s^2, ( r, s 均为整数 )
的 本原勾股数 是 存在的。
a=1061652293520 , b=4565486027761 , c=2165017^2
a, b 互质，且 a+b=2372159^2 及 c=2165017^2.
勾股弦方程
若（a, b, c）为本原勾股数，
且 a+b= c+2n ,
若 2n 有 t个不同的素因子，
则 a^2+b^2= c^2 有 2^(t-1)组 本原勾股数。
特例：
若 2n=2^k ,
则 a^2+b^2= c^2 有且仅有1组 本原勾股数。
若（a, b, c）为本原勾股数，
且 a+b= c+2020 ,
由 2020 有 3个不同的素因子，
则 a^2+b^2= c^2 有 2^(3-1)组 本原勾股数。
1-----( a=12221, b=2220, c=12421 )
2-----( a=2045, b=83628, c=83653 )
3-----( a=257045, b=2028, c=257053 )
4-----( a=2021, b=2042220, c=2042221 )
本帖最后由 蔡家雄 于 2020-2-25 20:53 编辑
公共弦勾股数的个数公式
它与公共弦c的4x-1 型素数的指数 无关，
均与公共弦c的4x+1型素数的指数 有关，
设公共弦c中有t个4x+1型的素数，
它的指数为r1, r2, ... , rt,
则公共弦勾股数的个数公式为
[(1+2r1)*(1+2r2)*...*(1+2rt) -1]/2
定A勾股数解数及定C勾股数解数，200年前的大数学家Euler 早已发现！
本帖最后由 蔡家雄 于 2020-3-16 15:31 编辑
本原勾股数新公式
设 n为正整数，k为非负整数，
设 a= 2^(k+1)*(2^k+2n -1)
b= ((2n+2^k -1))^2 -2^(2k)
c= ((2n+2^k -1))^2 -2^(2k)+2^(2k+1)
则 a^2+b^2 =c^2
当 k=0 时，有 a=4n,b=4*n^2 -1,c=4*n^2+1.
当 k=1 时，有 a=8n+4,b=(2n+1)^2 -4,c=(2n+1)^2+4.
本原勾股数新公式
设 (2k -1) 与 (2n+1) 同奇且互素，
设 a= (2k -1)*(2n+1)
b= 2*n^2+4kn -2n
c= 2*n^2+4kn -2n+(2k -1)^2
则 a^2+b^2 =c^2
当 k=1 时，有 a=2n+1,b=2*n^2+2n,c=2*n^2+2n+1.
本帖最后由 蔡家雄 于 2023-3-11 19:28 编辑
等差勾股方程
设 p 的素因子均为 8k -1型 或 8k+1型，
且 a 与 p 互素，
则 a^2+(a+p)^2=c^2 是 本原勾股方程。
若 p 有 t个 不同的素因子，
则 a^2+(a+p)^2=c^2 有 2^t组 通项公式。
求 a^2+(a+p)^2=c^2 的本原勾股数通项公式
设 x, y 为正整数，且 x < y，且 x与y 互素，
求 |y^2 - x^2 - 2*x*y| =p 的最小2^t组 正整数解，
设 xi, yi 表示 每组的最小正整数解，
设 R1=xi, R2=yi,R(n+2)= 2*R(n+1)+Rn, 得2^t组Rn数列
设 v, u 是 Rn 数列中连续的两项，
则 (u^2 - v^2)^2+(2uv)^2= (u^2+v^2)^2
是 两直角边相差p 的本原勾股数。
由 \((y^2 - x^2)^2+(2xy)^2=(y^2+x^2)^2\) ,
设 \(x, y\) 为正整数，且 \(x < y\)，且 \(x与y\) 互素，
求 \(|y^2 - x^2 - 2xy| =2023\) 的 \(2^2\) 组 \(( x , y )\) 的通解公式，
即 两直角边相差 \(2023\) 的本原勾股方程 的通解公式。
\(x, y\) 是 \(A_{n}=\frac{(64 - 5\sqrt2) (1 +\sqrt2)^{n} + (64 + 5\sqrt2)(1 -\sqrt2)^{n}}{4}\) 中连续的两项，
\(x, y\) 是 \(B_{n}=\frac{(88 - 43\sqrt2) (1 +\sqrt2)^{n} + (88 + 43\sqrt2)(1 -\sqrt2)^{n}}{4}\) 中连续的两项，
\(x, y\) 是 \(C_{n}=\frac{(64 + 5\sqrt2) (1 +\sqrt2)^{n} + (64 - 5\sqrt2)(1 -\sqrt2)^{n}}{4}\) 中连续的两项，
\(x, y\) 是 \(D_{n}=\frac{(88 + 43\sqrt2) (1 +\sqrt2)^{n} + (88 - 43\sqrt2)(1 -\sqrt2)^{n}}{4}\) 中连续的两项，
本帖最后由 wlc1 于 2020-2-21 13:58 编辑
一道小题，朱火华先生会做吗？
公共弦C=125*841*89 的52组勾股数？
求不出：朱火华先生——丢人现眼！！
人们早已知道公共弦勾股数的解法，
用xxxxx2050 的口气：我干嘛要把解法告诉你，
就算你找到了公共弦勾股数的解法，
别以为自己在数学上发现了一个新大陆。
本帖最后由 蔡家雄 于 2020-3-16 21:51 编辑
罗士琳勾股数本原解公式
设 奇数Q=m+n,（m,n 互质 且 m>n, m,n 均为正整数）
则 ^2+(2mn)^2=^2 有 E/2组的本原勾股数。
其中，E 就是著名的 Euler 函数。但，不是朱火华的公式。
本帖最后由 蔡家雄 于 2020-2-28 19:09 编辑
有的是：股平方+勾平方= 弦平方，
朱火华先生提倡：勾股不分，a,b 不分，
分析：朱火华的奇数为勾全部解公式，
反例：x^2=15^2=25*9,
15^2+[(25-9)/2]^2=[(25+9)/2]^2
15^2+8^2=17^2（15为股，8为勾）
朱明君先生何为勾，何为股都分不清，昏而不明，
本帖最后由 蔡家雄 于 2023-3-8 07:01 编辑
等和勾股方程
设 p 的素因子均为 8k -1型 或 8k+1型，
若 a^2+b^2= c^2，
且 a+b= p ，
若 p 有 t个 不同的素因子，
则 a^2+b^2= c^2 有 2^(t-1)组 本原勾股数。
wlc1 发表于 2020-2-20 23:42
一道小题，朱火华先生会做吗？
公共弦C=125*841*89 的52组勾股数？
王守恩老师，庄严老师，蔡老师，程老师会做 本帖最后由 蔡家雄 于 2023-3-8 07:02 编辑
蔡氏勾股弦方程
设 a+b= c+2n ,(n为任意正整数，都有本原解）
若 2n 有 t个不同的素因子，
则 a^2+b^2= c^2 有 2^(t-1)组 本原勾股数。
特例：
若 2n=2^k ,
则 a^2+b^2= c^2 有且仅有1组 本原勾股数。