关于白新岭[原创]限定定义域方程的正整数解的个人理解

林梦启 发表于 2009-4-26 09:33

[这个贴子最后由林梦启在 2009/04/26 10:00am 第 3 次编辑]

关于白新岭写的这个命题，刚开始我还以为很是麻烦呢，早上躺在床上一想，很简单的
求方程：x+y+z=n,的正整数解的组数，x，y，z，n是正整数，n≥3,x,y,z不能整除3.p
写出公式即可.
公式为：
若n=3K时，正整解的组数为:k^2
若n=3k+1，n=3k+2时，正整数解的组数为：3k(k+1)/2

林梦启 发表于 2009-4-26 09:50

关于白新岭[原创]限定定义域方程的正整数解的个人理解

[这个贴子最后由林梦启在 2009/04/27 01:27pm 第 3 次编辑]

分析如下：
一、当n=3K时，
可分成二种情况：
1、全1,1,1形式（也就是均为被3除余1），我们可以先给x,y,z均先铺个底1,剩下的就是加上3的整数倍了，3k已经用去了3,还剩3(k-1)，也就是(k-1)个3,把这(k-1)个3分配到x,y,z的下方，每个下方均可以是0到(k-1)个，而且最终三者的各必须为n,故共有1+2+。。。+k=(k+1)k/2种，
2、全2,2,2形式，同理只需把(k-2)个3分配出去，故共有1+2+。。。+（k-1）＝（k-1)k/2种，
综合得：正整解的组数为:k^2
二、当n=3k+1，n=3k+2时，
利用同样的思想，
1、当n=3k+1时，x,y,z为1,1,2的一种排列形式，先把1,1,2铺出去共有3种形式，剩下的就是分配（k-1)个3了，共有（k+1）k/2种，分步用乘法，故共有3k(k+1)/2
2、当n=3k+2时，x,y,z为1,2,2的一种排列形式，先把1,2,2铺出去共有3种形式，剩下的就是分配（k-1)个3了，共有（k+1）k/2种，分步用乘法，故共有3k(k+1)/2
综合得：当n=3k+1，n=3k+2时，正整数解的组数为：3k(k+1)/2
不知妥否，敬请指正

林梦启 发表于 2009-4-26 10:09